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pour avoir la véritable valeur de $\mathrm {P} ,$ on doit prendre la moitié de la somme des deux valeurs précédentes, ce qui donne

$\mathrm {P} ={\frac {1}{2^{n+1}}}\left[(1+\alpha )^{n}+(1-\alpha )^{n}\right].$

En développant cette expression, on a

$P={\frac {1}{2^{n}}}\left[1+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {n(n-1)((n-2)n-3)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}+\ldots \right].$

Cette valeur de $\mathrm {P}$ étant plus grande que ${\frac {1}{2^{n}}}$ lorsque $n$ est plus grand que l’unité, on voit que l’inégalité qui peut exister entre les adresses des deux joueurs favorise celui qui parie $1$ contre $2^{n}-1$ que $\mathrm {A}$ gagnera les $n$ premières parties, pourvu que l’on ignore de quel côté se trouve la plus grande adresse. Cette remarque, que j’ai déjà faite ailleurs, est, si je ne me trompe, très utile dans l’analyse des hasards, non seulement en ce qu’elle montre la nécessité d’avoir égard à l’inégalité inconnue des adresses des joueurs, mais encore en ce que l’on peut souvent déterminer si cette inégalité est favorable ou contraire à celui qui parie d’après le Calcul ordinaire des probabilités.

III.

Considérons encore deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ chacun avec un nombre donné de jetons, et jouant ensemble de manière que, à chaque coup, celui qui perd donne un jeton à son adversaire ; supposons que la partie ne doive finir que lorsqu’il ne restera plus de jetons à l’un des joueurs, et déterminons, dans ce cas, leurs probabilités respectives pour gagner cette partie.

Pour cela, nommons généralement $p$ l’adresse de $\mathrm {A} ,\ 1-p$ celle de $\mathrm {B}$ et $y_{x}$ la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner la partie, lorsqu’il a $x$ jetons ; il peut arriver au coup suivant qu’il gagne un jeton à $\mathrm {B} ,$ et dans ce cas sa probabilité se change en $y_{x+1}\,;$ il peut arriver qu’il en donne un à $\mathrm {B} ,$ ce qui réduit sa probabilité à $y_{x-1}\,:$ or la probabilité du premier