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de ces deux événements est $p,$ et celle du second est $1-p\,;$ on aura donc l’équation aux différences finies

$y_{x}=py_{x+1}+(1-p)y_{x-1}.$

Pour l’intégrer, soit $y_{x}=\mathrm {C} a^{x},$ on aura

$a=pa^{2}+1-p\,;$

{{{1}}}

$y_{x}=\mathrm {C+C'} \left({\frac {1-p}{p}}\right)^{x}.$

Pour déterminer ces deux constantes, on observera : 1^o que, $x$ étant nul, on a $y_{x}=0,$ et que, $x$ étant égal au nombre total des jetons de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} ,$ on a $y_{x}=1\,;$ soient $n$ ce nombre, $m$ le nombre des jetons de $\mathrm {A}$ au commencement de la partie, et par conséquent $n-m$ celui des jetons de $\mathrm {B} ,$ on aura

${\begin{aligned}0=&\mathrm {C+C'} ,\\1=&\mathrm {C+C'} \left({\frac {1-p}{p}}\right)^{n},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {C} \ =&\quad {\frac {1}{1-\left({\cfrac {1-p}{p}}\right)^{n}}},\\\mathrm {C} '=&-{\frac {1}{1-\left({\cfrac {1-p}{p}}\right)^{n}}},\end{aligned}}$

partant

$y_{x}={\frac {1-\left({\cfrac {1-p}{p}}\right)^{x}}{1-\left({\cfrac {1-p}{p}}\right)^{n}}}.$

On aura la probabilité $y-m$ de $\mathrm {A}$ pour gagner la partie, en changeant