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moyen extrêmement simple d’avoir une infinité d’intégrales particulières des équations aux différences partielles linéaires, d’une manière plus étendue que par les procédés connus ; mais, mon objet étant ici de déterminer les intégrales complètes de ces équations, lorsqu’elles en sont susceptibles, je remets à m’occuper dans un autre Mémoire de la recherche des intégrales particulières.

VII.

Je reprends maintenant l’équation

(Z)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz+\mathrm {T} ,$

dont l’intégrale est, comme on l’a vu,

${\begin{aligned}z=\mathrm {R} &+\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} d\varpi \varphi (\varpi )+\mathrm {B} '\int \mathrm {C} 'd\varpi \varphi (\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} d\varpi \varphi (\varpi )+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+a\psi (\theta )+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Je suppose, pour simplifier, l’une des fonctions arbitraires, par exemple $\psi (\theta ),$ nulle, et que l’expression de $z,$ considérée par rapport à la seule fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$ ne renferme point le signe $\int ,$ en sorte que l’on ait

$z=\mathrm {R+A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots .$

Comme je démontrerai ci-après que ce cas embrasse tous ceux dans lesquels l’intégrale de l’équation (Z) est possible en termes finis, il est très important d’avoir une méthode pour l’intégrer ; j’ose me flatter que la suivante mérite, par sa simplicité, l’attention, des géomètres.

Si l’on fait d’abord $\mathrm {T} =0,$ on aura

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz,$