dans cette expression 
en 
ce qui donne
et, en changeant 
en 
en 
et réciproquement, on aura la probabilité de 
pour gagner la partie, et l’on trouvera 
pour cette probabilité ; c’est ce dont il est facile de s’assurer d’ailleurs en considérant que, 
ou devant nécessairement gagner la partie, la somme de leurs probabilités doit être égale à l’unité.
Maintenant, si l’on suppose les adresses des deux joueurs égales, et, par conséquent, 
l’expression précédente de 
devient 
ce qui ne fait rien connaître ; mais, en différenciant le numérateur et le dénominateur de cette expression par rapport à 
on trouve que dans ce cas 
en sorte que les probabilités des deux joueurs et sont en raison du nombre de leurs jetons : leurs mises respectives doivent donc être dans le même rapport. Examinons présentement le changement que doit occasionner dans leur sort une inégalité quelconque entre leurs adresses.
Soient 
la plus grande et 
la plus petite ; on changera successivement, dans l’expression de 
en et 
on aura ainsi deux valeurs qui auront lieu suivant que sera le plus fort ou le plus faible : la véritable expression de sera donc égale à la moitié de la somme de ces deux valeurs ; d’où l’on tire
![{\displaystyle y_{m}={\frac {1}{2}}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-m}+(1-\alpha )^{n-m}\right]\left[(1+\alpha )^{m}-(1-\alpha )^{m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b655e4424e257b29c0b6189360012b779d96cf2)
on peut mettre cette expression sous cette forme
![{\displaystyle y_{m}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\left(1-\alpha ^{2}\right)^{m}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-2m}-(1-\alpha )^{n-2m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d1cd078a2e9f75b5d8a9f1e9483ad91a6527b2)
