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joueur est plus favorable que suivant le Calcul ordinaire des probabilités, sans que l’on soit en état d’assigner de combien il est augmenté.

Cependant, si l’on connaissait la limite et la loi de possibilité des valeurs de $\alpha ,$ rien ne serait plus facile que de résoudre exactement ce problème ; car, si l’on nomme $q$ cette limite et que l’on représente par $\psi (\alpha )$ la probabilité de $\alpha ,$ on voit d’abord que, $\alpha$ devant nécessairement tomber entre $0$ et $q,$ la fonction $\psi (\alpha )$ doit être telle que l’on ait

$\int d\alpha \psi (\alpha )=1,$

l’intégrale étant prise depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =q.$ On multipliera donc par $d\alpha \psi (\alpha )$ les probabilités déterminées par ce qui précède, et, en intégrant ces produits depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =q,$ on aura les probabilités cherchées ; on trouvera de cette manière, pour la valeur de $\mathrm {P}$ dans l’article II,

$P=\int {\frac {d\alpha \psi (\alpha )}{2^{n+1}}}\left[(1+\alpha )^{n}+(1-\alpha )^{n}\right].$

Si, par exemple, $\psi (\alpha )$ est égal à une constante $l,$ en sorte que toutes les valeurs de $\alpha$ soient également possibles, l’équation $\int d\alpha \psi (a)=1$ donnera $l={\frac {1}{q}},$ et l’on aura

$\mathrm {P} ={\frac {1}{(n+1)q.2^{n+1}}}\left[(1+q)^{n+1}-(1-q)^{n+1}\right].$

La quantité $\alpha$ est une fonction du rapport des adresses absolues des deux joueurs ; au lieu donc de supposer la loi de sa possibilité immédiatement connue, il est beaucoup plus naturel de la déduire de celle qui représente la possibilité de l’adresse absolue d’un joueur quelconque. Pour cela, comparons les adresses de tous les joueurs à celle d’un joueur unique, que nous prendrons pour unité d’adresse ; et, en représentant par l’abscisse $x$ tous ces rapports, concevons, élevées sur chaque point de l’abscisse, des ordonnées $y$ proportionnelles au nombre supposé infini de tous les joueurs dont l’adresse est $x\,:$ nous aurons ainsi une courbe renfermée entre les limites $h$ et $h',\ h$ étant la plus petite adresse et $h'$ la plus grande ; et il est visible que le rapport