de cet objet dans la suite ; mais auparavant nous allons exposer une méthode générale pour déterminer le sort respectif d’un nombre quelconque de joueurs, lorsqu’on ne connaît touchant leurs adresses que la loi de leur possibilité : cette matière présente quelques difficultés assez considérables d’analyse, dont la solution est renfermée dans celle du problème suivant.
Problème. – Soient quantités variables et positives dont la somme soit et dont la loi de possibilité soit connue ; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction donnée de ces variables, multipliée par la probabilité correspondante à cette valeur.
Solution. – Supposons, pour plus de généralité, que les fonctions qui expriment la possibilité des variables soient discontinues, et représentons par la plus petite valeur de par la possibilité de depuis jusqu’à par sa possibilité, depuis jusqu’à par cette possibilité, depuis jusqu’à et ainsi de suite jusqu’à Désignons ensuite les mêmes quantités relatives aux variables par les mêmes lettres, en écrivant au bas les nombres en sorte que expriment les plus petites valeurs de que exprime la possibilité de depuis jusqu’à et ainsi du reste ; dans cette manière de représenter les possibilités des variables, il est clair que la fonction a lieu depuis jusqu’à que la fonction a lieu depuis jusqu’à ainsi de suite. Pour reconnaître les valeurs de lorsque ces fonctions commencent à avoir lieu, nous multiplierons par par par les exposants des puissances de qui multiplient chaque fonction indiqueront alors ces valeurs ; il suffira ensuite de supposer dans le dernier résultat du calcul : c’est à ces artifices très simples que nous devons la facilité avec laquelle nous allons résoudre le problème proposé.
