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XI.

Voyons maintenant l’usage que l’on peut faire de la théorie précédente dans la solution des problèmes relatifs à un nombre $n-1$ de joueurs dont on ne connaît que la possibilité des adresses. Soient

$t,t_{1},\ldots ,t_{n-2}$ les adresses absolues des joueurs ;

$h,h_{1},h_{2},\ldots$ les plus petites valeurs de $t,t_{1},\ldots \,;$

$h',h'_{1},h'_{2},\ldots$ leurs plus grandes valeurs ;

si l’on fait

$h'+h'_{1}+h'_{2}+\ldots =s$

et

$t+t_{1}+\ldots +t_{n-2}=s-t_{n-1},$

la variable $t_{n-1}$ pourra s’étendre depuis zéro jusqu’à

$h'-h+h'_{1}-h_{1}+\ldots \,;$

la loi de sa possibilité doit être supposée constante et égale à l’unité dans cet intervalle, et nulle au delà jusqu’à $t_{n-1}=\infty \,;$ de plus, il est clair que les adresses respectives des joueurs seront

${\frac {t}{s-t_{n-1}}},\quad {\frac {t_{1}}{s-t_{n-1}}},\quad {\frac {t_{2}}{s-t_{n-1}}},\quad \ldots .$

On cherchera donc, par les méthodes connues de l’analyse des hasards, la solution du problème proposé, en partant de ces adresses respectives, et l’on arrivera à un résultat qui sera une fonction de

${\frac {t}{h'+h'_{1}+\ldots -t_{n-1}}},\quad {\frac {t_{1}}{h'+h'_{1}+\ldots -t_{n-1}}},\quad \ldots .$

En y substituant, au lieu de $s,$ sa valeur, cette fonction sera celle que nous avons désignée par $\psi \left(t,t_{1},t_{2},\ldots \right)$ dans le problème de l’article VII ; il ne s’agira plus ensuite que de chercher par la méthode de ce problème la somme de toutes les valeurs dont cette fonction est susceptible, multipliées par leurs probabilités, et cette somme sera le résultat demandé : il ne reste plus, comme on voit, dans ce genre de