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si l’on ajoute à cette dernière équation la précédente multipliée par $m,$ on aura, à cause de ${\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz=z^{(1)},$

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}\left(m-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}\right)+n{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+z^{(1)}\left(\mu -n{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}+{\frac {\partial n}{\partial \theta }}+nm\right).$

Soient

$m-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}=m^{(1)}\qquad$et$\qquad \mu +nm-n{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}+{\frac {\partial n}{\partial \theta }}=l^{(1)},$

on aura

(Z’)

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+m^{(1)}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+l^{(1)}z^{(1)}.$

On vient de voir que l’expression de $z^{(1)}$ ne renferme qu’un seul terme, et par ce qui précède l’équation de condition pour que cela ait lieu est

$0=l^{(1)}-{\frac {\partial m^{(1)}}{\partial \varpi }}-nm^{(1)}\,;$

c’est aussi l’équation de condition nécessaire pour que l’expression de $z$ renferme deux termes.

Si l’expression de $z$ renferme trois termes, en sorte que l’on ait

$z=\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi ),$

en substituant au lieu de $z$ cette valeur dans l’équation différentielle, on aura les suivantes

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}\quad +m\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \varpi \partial \theta }}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

en faisant $z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz,$ on aura

${\begin{aligned}z^{(1)}&=\left({\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}\ \,+m\mathrm {A} \ \right)\varphi \ (\varpi )+\left({\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \theta }}\ +m\mathrm {A} '\ \right)\varphi _{1}(\varpi )+\left({\frac {\partial \mathrm {A} ''}{\partial \theta }}+m\mathrm {A} ''\right)\varphi _{2}(\varpi )\\&=\left({\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \theta }}+m\mathrm {A} '\right)\varphi _{1}(\varpi )+\left({\frac {\partial \mathrm {A} ''}{\partial \theta }}+m\mathrm {A} ''\right)\varphi _{2}(\varpi ),\end{aligned}}$