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en sorte que l’expression de $z^{(1)}$ dans l’équation (Z’) ne renferme que deux termes ; or, nous avons vu ci-dessus que, pour que l’expression de $z$ ne renferme que deux termes, on doit avoir l’équation de condition

$0=l^{(1)}-{\frac {\partial \mu ^{(1)}}{\partial \varpi }}-nm^{(1)}\,;$

donc, si l’on change dans cette équation $m$ en $m-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }},$ et $l$ en $\mu +nm-n{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}+{\frac {\partial n}{\partial \theta }},$ on aura l’équation de condition pour que l’expression de $z^{(1)}$ ne renferme que deux termes et, par conséquent, pour que l’expression de $z$ en renferme trois.

Pareillement, si, dans cette nouvelle équation, on change $m$ en $n-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }},$ et $l$ en $\mu +mn-n{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}+{\frac {\partial n}{\partial \theta }},$ on aura l’équation de condition pour que $z$ renferme quatre termes, et ainsi de suite ; en sorte qu’on aura facilement, par ce moyen, l’équation de condition nécessaire pour que $z$ renferme un nombre quelconque de termes.

De là, je tire un moyen très simple d’avoir la valeur complète de $z.$"

Soit

$z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz\,;$

l’équation

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz$

donnera

$0={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+nz^{(1)}+z\left(l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm\right)\,;$

d’où, en faisant

$\mu =l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm,\qquad m^{(1)}=m-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}$

et

$l^{(1)}=\mu +nm-n{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu }}+{\frac {\partial n}{\partial \theta }},$