étant égal à
de là on tirera, quel que soit
![{\displaystyle (\lambda )\ \ \int ydx=\mathrm {C} +\alpha yz\left\{1-\alpha {\frac {dz}{dx}}+\alpha ^{2}{\frac {d(zdz}{dx^{2}}}-\alpha ^{3}{\frac {d\left[zd(zdz)\right]}{dx^{3}}}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177cc524c34123ed203dc95d21009c15232389c4)
étant une constante arbitraire qui dépend de la valeur de
à l’origine de l’intégrale. Cette suite, qui est d’un grand usage dans ces recherches, se démontre facilement en observant :
1o Que
![{\displaystyle \int ydx=\int \alpha zdy=\alpha yz-\alpha \int ydz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1e584ef79965ce509420ab35aeb1fd9b7778f2)
2o Que l’équation
![{\displaystyle ydx=\alpha zdy\qquad {\text{donne}}\qquad y=\alpha z{\frac {dy}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d30030f0706483f9e51e68eba7339aa376dd57)
et qu’ainsi
![{\displaystyle \int ydx=\alpha \int {\frac {zdz}{dx}}dy=\alpha y{\frac {zdz}{dx}}-\alpha \int y{\frac {d(zdz)}{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21871d1a76822731eb883069972cb7cc29eb8c22)
3o Que
![{\displaystyle \int y{\frac {d(zdz)}{dx}}=\alpha \int z{\frac {d(zdz)}{dx}}dy=\alpha yz{\frac {d(zdz)}{dx^{2}}}-\alpha \int y{\frac {d\left[zd(zdz)\right]}{dx^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e686c04ad5c85ed5930bc3c41ee296d662eb559b)
et ainsi de suite.
La série précédente cesse d’être convergente lorsque le dénominateur de
est très petit de l’ordre de
et c’est ce qui a lieu lorsque
ne diffère de
que d’une quantité de cet ordre ; il faut donc n’employer cette série que dans le cas où cette différence est très grande par rapport à
. Mais cela ne suffit pas encore : chaque différentiation augmentant d’une unité les puissances des dénominateurs de
et de ses différentielles, il est visible que le terme de la série multiplié par
a pour dénominateur celui de
élevé à la puissance
donc, pour la convergence de cette suite, il est nécessaire que
soit beaucoup moindre, non seulement que le dénominateur de
mais encore que le carré de ce dénominateur.
Il suit de là que la suite
donnera, par une approximation rapide,