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l’intégrale $\int ydx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{1+\mu }}-\theta ,$ pourvu que $\alpha$ soit beaucoup plus petit que $\theta ^{2}\,;$ et si l’on observe que l’on a $y=0$ et $z=0$ lorsque $x=0,$ on trouvera, pour la valeur de $\int ydx,$ dans ce cas,

$\int ydx={\frac {\alpha \mu ^{q+1}\left[1-(1+\mu )\theta \right]^{p+1}\left(1+{\cfrac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)^{q+1}}{(1+\mu )^{p+q+3}\theta }}$

$\times \left\{1-{\frac {\alpha \left[\mu +(1+\mu )^{2}\theta \right]}{(1+\mu )^{2}\theta ^{2}}}+\ldots \right\}.$

Cette suite a l’avantage de donner les limites entre lesquelles la valeur de $\int ydx$ est resserrée ; en effet, cette valeur est moindre que le premier terme et plus grande que la somme des deux premiers termes. Pour le démontrer, nous donnerons à $z$ cette forme

$z=-{\frac {\mu }{(1+\mu )^{2}}}+{\frac {x}{1+\mu }}+{\frac {\mu }{(1+\mu )^{2}\left[1-(1+\mu )x\right]}},$

et nous aurons

$dz={\frac {dx}{1+\mu }}+{\frac {\mu dx}{(1+\mu )\left[1-(1+\mu )x\right]^{2}}}.$

On voit ainsi que $z$ et $dz$ augmentent à mesure que $x$ augmente depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{1+\mu }}\,;$ les quantités $z,{\frac {dz}{dx}}$ et ${\frac {d(zdz)}{dx^{2}}}$ sont donc toujours positives dans cet intervalle, ainsi que les intégrales $\int ydz$ et $\int y{\frac {d(zdz)}{dx}}\,;$ or on a, par ce qui précède,

$\int ydx=\alpha yz-\alpha \int ydz.$

Partant $\int ydx$ est moindre que $\alpha yz\,;$ pareillement

$\int ydz=\alpha yz{\frac {dz}{dx}}-\alpha \int y{\frac {d(zdz)}{dx}},$

et, par conséquent, $\int ydz$ est moindre que $\alpha yz{\frac {dz}{dx}}\,;$ donc $\int ydx$ est moindre que $\alpha yz$ et plus grand que $\alpha yz\left(1-\alpha {\frac {dz}{dx}}\right).$ Cette remarque peut servir lorsque, sans chercher la valeur exacte de $\int ydx,$ on veut s’assurer si elle est plus grande ou plus petite qu’une quantité donnée.