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La suite $(\lambda )$ donnera encore l’intégrale $\int ydx,$ depuis $x={\frac {1}{1+\mu }}+\theta$ jusqu’à $x=1,$ et si l’on considère que, $x$ étant $1,$ on a $y=0$ et $z=0,$ on verra facilement que la valeur de $\int ydx,$ dans ce dernier cas, est la valeur même de $\int ydx$ dans le premier cas, prise en moins, et dans laquelle on change $\theta$ en $-\theta \,;$ donc, si l’on nomme $k$ l’intégrale entière $\int ydx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ on aura, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{3},$ pour cette même intégrale, prise depuis $x={\frac {1}{1+\mu }}-\theta$ jusqu’à $x={\frac {1}{1+\mu }}+\theta ,$ ou, ce qui revient au même, depuis $x={\frac {p}{p+q}}-\theta$ jusqu’à $x={\frac {p}{p+q}}+\theta ,$

${\begin{aligned}k&-{\frac {\alpha \mu ^{q+1}\left\{1-{\cfrac {\alpha \left[\mu +(1+\mu )^{2}\theta ^{2}\right]}{(1+\mu )^{3}\theta ^{2}}}\right\}}{(1+\mu )^{p+q+3}\theta }}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&\left[1-(1+\mu )\theta \right]^{p+1}\left(1+{\frac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)^{q+1}\\+&\left[1+(1+\mu )\theta \right]^{p+1}\left(1-{\frac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)^{q+1}\end{aligned}}\right\},\end{aligned}}$

ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {P} =1&-{\frac {\alpha \mu ^{q+1}\left\{1-{\cfrac {\alpha \left[\mu +(1+\mu )^{2}\theta ^{2}\right]}{(1+\mu )^{3}\theta ^{2}}}\right\}}{(1+\mu )^{p+q+3}\theta k}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&\left[1-(1+\mu )\theta \right]^{p+1}\left(1+{\frac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)^{q+1}\\+&\left[1+(1+\mu )\theta \right]^{p+1}\left(1-{\frac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)^{q+1}\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Il ne s’agit plus maintenant que d’avoir la valeur de $k\,;$ or on a, par l’article précédent,

$k={\frac {1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}{1.2.3\ldots (p+q+1)}}$

et, quel que soit $u,$

$1.2.3\ldots u={\sqrt {2\pi }}u^{u+{\frac {1}{2}}}e^{-u}\left(1+{\frac {1}{12u}}+\ldots \right),$