infiniment petites : pour déterminer dans quel cas elle est convergente, nous observerons que, si la dimension de
en
et
est
celle de
sera
celle de
sera
et ainsi du reste ; or la convergence de la série exige que ces dimensions aillent en diminuant, ce qui suppose que
est moindre que l’unité. Dans la question présente, où
![{\displaystyle z_{m-1}={\frac {m(q+2a+1-m)}{2ap+q-m(p+q)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d765cd9f9bbdc7c6c5aa6906ccb0322297e1876)
les dimensions du numérateur et du dénominateur sont égales à
et par conséquent
la suite sera donc convergente, pourvu que le dénominateur ne soit pas extrêmement petit, c’est-à-dire que
diffère sensiblement de
or c’est ce qui a lieu, lorsque
est égal ou moindre que
étant supposé plus grand que ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
On peut mettre la quantité
sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {E+F} m+{\frac {\mathrm {G} }{2ap+q-m(p+q)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58d46296e1a77724bdc57620658140c8412957e)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} =&{\frac {-q(p+q)-2aq-p}{(p+q)^{2}}},\\\mathrm {F} =&{\frac {1}{p+q}},\\\mathrm {G} =&{\frac {(2ap+q)\left[q(p+q)+2aq+p\right]}{(p+q)^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00a025545c4998672cc647f98cec0f2620a1b46)
on aura ainsi
![{\displaystyle \Delta z_{m-1}=\mathrm {F} +{\frac {\mathrm {G} (p+q)}{\left[2ap+q-m(p+q)\right]\left[2ap+p+2q-m(p+q)\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6a564f06d08e92f579494113f44e8baa2d4694)
Or,
et
étant positifs, il est clair que
est toujours positif tant que
est moindre que
on voit de plus que, dans ce cas,
va toujours en augmentant, en sorte que
est encore une quantité positive ; donc
étant égal à
![{\displaystyle y_{m}z_{m-1}-\sum \left(y_{m}\Delta z_{m-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802935a1447eef66ba400675a630a3325480e7c0)