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un petit intervalle de part et d’autre de ce maximum, à cette même intégrale prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ et c’est ce que nous avons fait, dans l’article cité, pour le cas où $y=x^{p}(1-x)^{q},\ p$ et $q$ étant de très grands nombres. Nous allons présentement généraliser ces recherches et les étendre à toutes les valeurs de $y$ qui conduisent à une équation de cette forme

$ydx=\alpha zdy,$

$z$ étant une fonction de $x$ qui ne renferme point de puissances de l’ordre ${\frac {1}{\alpha }}.$

Reprenons l’équation $(\lambda )$ de l’article XVIII,

$(\lambda )\int ydx=\mathrm {C} +\alpha yz\left\{1-\alpha {\frac {dz}{dx}}+\alpha ^{2}{\frac {d(zdz}{dx^{2}}}-\alpha ^{3}{\frac {d\left[zd(zdz)\right]}{dx^{3}}}+\ldots \right\}\,;$

si l’on nomme

$a$ la valeur de $x$ correspondante au maximum de $y\,;$

$\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ les valeurs de $x$ et de $z$ correspondantes à $x=a-\theta \,;$

$\mathrm {Y} '$ et $-\mathrm {Z} '$ les valeurs de ces mêmes quantités correspondantes à $x=a+\theta \,;$

si l’on observe d’ailleurs que, les deux événements simples étant supposés avoir eu lieu, on a $y=0$ lorsque $x=0$ et lorsque $x=1,$ l’intégrale $\int ydx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=a-\theta$ sera

$\alpha \mathrm {YZ} \left[1+\alpha {\frac {d\mathrm {Z} }{d\theta }}+\alpha ^{2}{\frac {d\left(\mathrm {Z} d\mathrm {Z} \right)}{d\theta ^{2}}}+\ldots \right]\,;$

cette même intégrale, prise depuis $x=a+\theta$ jusqu’à $x=1,$ sera

$\alpha \mathrm {Y'Z'} \left[1-\alpha {\frac {d\mathrm {Z} '}{d\theta }}+\alpha ^{2}{\frac {d\left(\mathrm {Z} 'd\mathrm {Z} '\right)}{d\theta ^{2}}}+\ldots \right].$

En nommant donc $k$ l’intégrale $\int ydx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ on aura cette même intégrale, prise depuis $x=a-\theta$ jusqu’à $x=a+\theta ,$ en retranchant de $k$ les deux intégrales précédentes ; en divisant ensuite ce reste par $k,$ on aura la probabilité que $x$ sera com-