pris dans cet intervalle. Cette probabilité sera, par conséquent, égal
![{\displaystyle {\begin{aligned}1&-\ \ {\frac {\alpha \mathrm {YZ} }{k}}\left\{1+\alpha {\frac {d\mathrm {Z} }{d\theta }}\ \,+\alpha ^{2}{\frac {d\left(\mathrm {Z} d\mathrm {Z} \right)}{d\theta ^{2}}}\ \ \,+\alpha ^{3}{\frac {d\left[\mathrm {Z} d\left(\mathrm {Z} d\mathrm {Z} \right)\right]}{d\theta ^{3}}}\ \ \ +\ldots \right\}\\&-{\frac {\alpha \mathrm {Y'Z'} }{k}}\left\{1-\alpha {\frac {d\mathrm {Z} '}{d\theta }}+\alpha ^{2}{\frac {d\left(\mathrm {Z} 'd\mathrm {Z} '\right)}{d\theta ^{2}}}-\alpha ^{3}{\frac {d\left[\mathrm {Z} 'd\left(\mathrm {Z} 'd\mathrm {Z} '\right)\right]}{d\theta ^{3}}}+\ldots \right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45836ca01dbf3267f007cc2005e025c8e87a5e45)
la question se réduit ainsi à déterminer 
Nous y sommes parvenu dans l’article XVIII où, 
au moyen du beau théorème de M. Stirling sur la valeur du produit 
lorsque 
est un très grand nombre ; mais ce procédé est indirect, et il est naturel de penser qu’il existe une méthode pour déterminer directement 
quel que soit 
et dont ce théorème est un corollaire : celle que je vais exposer m’a paru remplir cet objet de la manière la plus générale.
Puisque la valeur de 
conduit, par la supposition, à une équation de cette forme 
on a
en sorte que 
est très grand et de l’ordre de 
d’ailleurs, 
étant la valeur de 
correspondante au maximum de si l’on fait 
et que l’on nomme 
la plus grande valeur de ou sa valeur lorsque 
on aura, en réduisant en série,
le terme multiplié par 
disparaissant, parce que l’équation 
ou 
rend un maximum. On aura ainsi
et
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Soit
