( l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
) ; donc
![{\displaystyle \iint e^{-s\left(1+u^{2}\right)}dsdu=2\mathrm {B} ^{2}={\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18db87c13a5b084cf894b90d9efebd7ad194d2bf)
d’où l’on tire
partant
![{\displaystyle (s)\quad k=\mathrm {A} {\sqrt {\alpha \pi }}\left(h+1.3{\frac {\alpha h^{(2)}}{2}}+1.3.5{\frac {\alpha ^{2}h^{(4)}}{2^{2}}}+1.3.5.7{\frac {\alpha ^{3}h^{(6)}}{2^{3}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934b0fa926f558e680ddf243eb91165b03849615)
Si l’on met l’équation
![{\displaystyle \log \mathrm {A} -\log y=t^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e112f7dd5ba5d5dd13a224824dc60dad4a3949ad)
sous cette forme
![{\displaystyle \theta =t{\sqrt {\frac {\theta ^{2}}{\log \mathrm {A} -\log y}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5971441b0a6085aa9d4943fb0d5276202c42836)
on aura, pour déterminer les coefficients
de la série
![{\displaystyle \theta =\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(h+h^{(1)}\alpha ^{\frac {1}{2}}t+h^{(2)}\alpha t^{2}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d44bf91bc48c436779b6c90dc0cc4328e866c8)
l’expression générale
![{\displaystyle (z)\qquad \qquad \alpha ^{n+{\frac {1}{2}}}h^{(2n)}={\frac {d^{2n}\left[\theta ^{2n+1}\left(\log \mathrm {A} -\log y\right)^{-n-{\frac {1}{2}}}\right]}{1.2.3\ldots (2n+1)d\theta ^{2n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470bfcd0286ca84c856ca4938ad084e9b376e3f0)
pourvu que l’on suppose
constant
après les différentiations. [Voir sur cela les Mémoires de l’Académie pour l’année 1777, p. 115 [1].]
Lorsque
on a
![{\displaystyle \alpha ^{\frac {1}{2}}h=\theta \left(\log \mathrm {A} -\log y\right)^{-{\frac {1}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17403bc6b2c64f86c6ee781130ab16a664f2d4c)
or
![{\displaystyle \log y=\log \mathrm {A} +\theta {\frac {dy}{yd\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}y}{yd\theta ^{2}}}-{\frac {dy^{2}}{y^{2}d\theta ^{2}}}\right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3ae5f73dcbce303548429a57eb2ca58755931f)
dans le second membre de cette équation, étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y suppose
cette supposition donne
![{\displaystyle y=\mathrm {A} \qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dy}{d\theta }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a2e6a51c01c26d424ddd25e7864714a318f292)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 329.