observerons d’abord que,
étant connu,
le sera pareillement car, si l’on prend la double intégrale
depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
on aura, en intégrant d’abord par rapport à
![{\displaystyle \iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}duds=\int {\frac {du}{1+u^{4}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f017439b6f57d0ef471e4b0dc0d05d873f22df68)
Si l’on fait ensuite
on aura
![{\displaystyle \iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}dsdu=\int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt[{4}]{s}}}\int e^{-t^{4}}dt=\mathrm {C} \int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt[{4}]{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f21ad6ca875a9713f2d8c7bb0af7b600da1b138)
Soit
et l’on aura
![{\displaystyle \int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt[{4}]{s}}}=4\int s'^{2}e^{-s'^{4}}ds'=4\mathrm {C} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909e21dc68a461e3916081e97ba35572fc25bd2a)
donc
![{\displaystyle \iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}dsdu=4\mathrm {CC'} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9022e1404bf032a58c80c406f44abc248545a4f)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {C} '={\frac {\pi }{8\mathrm {C} {\sqrt {2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2703c172e274e1facacf86c3c9a9015c63736044)
Quant à la valeur de
il ne m’a pas encore été possible, malgré plusieurs tentatives, de la ramener aux arcs de cercle ou aux logarithmes ; mais j’ai trouvé qu’elle dépendait de la rectification de la courbe élastique rectangle ou, ce qui revient au même, de l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
si l’on désigne par
la valeur de cette intégrale, on a trouvé
[1].
Cela posé, considérons la double intégrale
prise depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
en faisant
elle deviendra
![{\displaystyle \int e^{-s^{2}}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}\int e^{-t^{2}}dt\qquad {\text{ou}}\qquad \mathrm {C} \int e^{-s^{2}}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ccadb03bfbbb095ba1625e46b5d104d374c4623)
- ↑ Voir le Traité de M. Stirling, De sommation et interpolation serierum, p. 58.