Soit
et l’on aura
![{\displaystyle \int e^{-s^{2}}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}=2\int e^{-s'^{4}}ds'=2\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4f2d8ee2f0e140b65323cde630c85b89f8f8da)
partant
![{\displaystyle \iint e^{-s^{2}\left(1+u^{4}\right)}dsdu=2\mathrm {C} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccde93ee79eff8ff46c7b53bebc9f3c01d9888b)
Supposons maintenant
et nous aurons
![{\displaystyle \iint e^{-s^{2}\left(1+u^{4}\right)}dsdu=\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}\int e^{-s''^{2}}ds''={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476f906cb734ef4f2a58f9a9621f94f059cbf9d5)
en nommant donc
l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle 2\mathrm {C} ^{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4eae610b1d53c5fd75b6c529fc417397ba83fa)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} {\sqrt {\pi }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63aefd7455b7a471d79f8aac180e65789e8fa6d)
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}=-\int {\frac {ds}{\left(1-s^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95874a18533f3678ad2c82a3b7c223425b5378b)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
en sorte que
![{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}=E=\int {\frac {ds}{\left(1-s^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9496a92e0411b632804340b3182f429af65c83bd)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle s=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2119c4f6eead027750675ed98354c4b993945435)
Considérons présentement la double intégrale ![{\displaystyle \iint {\frac {dxdz}{\left(1-z^{2}-x^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd465995f344118a8a9a31057acb0608d6cc22d)
prise [1] depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
- ↑ Il faut sans doute comprendre que cette intégrale doit être étendue à toutes les valeurs positives de
et de
vérifiant l’inégalité
![{\displaystyle 1-z^{2}-x^{4}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b7a5ff0044f869d3555cc6113e1687ed730a77)
de sorte que, pour une valeur donnée de
varie de
à
augmentant encore jusqu’à
l’élément différentiel deviendrait imaginaire.
(Note de l’éditeur.)