on aura, pour déterminer
l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f63c1eefb9a669606f94d53626c6c06d3e4450)
Or on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial x'}}{\frac {\partial x'}{\partial x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b9e56b2a4a41bec2bae4f145edfe9f057ed657)
en substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de
sa valeur
en
mais cette valeur rend nulle la quantité
on aura donc les deux équations
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial y}{\partial x'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a479e0a3d19a675441b08379a0355a130f574a0)
Il suit de là que
est, aux quantités près de l’ordre
la valeur de
qui rend
un maximum, en faisant varier à la fois
et
on peut donc prendre, sans erreur sensible, la valeur de
correspondante à ce maximum, pour la possibilité du premier événement simple, et il est clair que l’on peut faire des remarques analogues sur les possibilités des deux autres événements simples.
Supposons, par exemple, qu’il y ait dans une urne une infinité de boules blanches, rouges et noires, dans une proportion inconnue, et que sur le nombre
de tirages on ait amené
boules blanches,
boules rouges et
boules noires ; en nommant
la facilité d’amener une boule blanche,
celle d’amener une boule rouge et, par conséquent,
celle d’amener une boule noire, on aura, pour la probabilité de l’événement observé,
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (p+q+r)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q.1.2.3\ldots r}}x^{p}x'^{q}(1-x-x')^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927de5cdbd8f50546319625ccc001d85d13398b2)
Dans ce cas particulier,
![{\displaystyle y=x^{p}x'^{q}(1-x-x')^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2a5b343c89226a63d58dbb540fc59edbe0dae3)
![{\displaystyle \int ydx'={\frac {1.2.3\ldots q.1.2.3\ldots r}{1.2.3\ldots (q+r+1)}}x^{p}(1-x)^{q+r+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e1f4a81e584184a8b58d0e5fe1b943b0b15378)
la valeur de
qui rend
un maximum est
cette frac-