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$ydx=\alpha zdy,\ \alpha$ étant un coefficient très petit ; or on a, en égalant à zéro la différentielle de $usy,$

$0={\frac {d(us)}{us}}+{\frac {dy}{y}},$

partant

$0={\frac {\alpha d(us)}{us}}+{\frac {1}{z}}.$

On aura donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,\ 0={\frac {1}{z}},$ d’où il suit que la valeur de $x$ qui rend $y$ un maximum est à très peu près la véritable, quelle que soit d’ailleurs la loi de facilité des possibilités des deux événements simples.

XXIX.

Après avoir déterminé les possibilités des événements simples qui résultent d’un événement composé propre à les faire connaître, il nous reste à considérer l’influence de cet événement sur la probabilité d’un événement futur quelconque, et la manière dont on doit calculer cette probabilité. Si l’on nomme $x$ et $1-x$ les possibilités de deux événements simples, $s$ la facilité de $x,$ et $s'$ celle de $1-x$, on calculera les probabilités, tant de l’événement observé que de l’événement futur, en partant de ces possibilités, et l’on aura pour résultat deux fonctions de $x,$ dont nous représenterons la première par $y$ et la seconde par $u\,;$ cela posé, si l’on nomme $\mathrm {P}$ la probabilité cherchée de l’événement futur, on aura, par les articles XIV et XV,

$\mathrm {P} ={\frac {\int ss'uydx}{\int ss'ydx}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Lorsque l’événement observé sera très composé, la méthode de l’article XXIII donnera ces intégrales par une approximation très rapide, ce qui montre l’étendue de cette méthode et son utilité dans ces matières.