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ticle précédent entre $m,n,l$ et leurs différences prises par rapport à $\varpi$ et à $\theta ,$ pour que la valeur de $z,$ considérée par rapport à l’une des deux fonctions arbitraires, par exemple $\varphi (\varpi ),$ se termine après le deuxième terme ; il s’agit de savoir si cette équation a lieu, sans avoir $m,n$ et $l$ en fonctions de $\varpi$ et de $\theta \,;$ pour cela, on substituera dans les expressions précédentes de $m,n$ et $l,$ au lieu de ${\frac {\partial \varpi }{\partial x}}$ et ${\frac {\partial \theta }{\partial x}},$ leurs valeurs que donnent les équations (2) et (3) ; on aura ainsi $m,n$ et $l$ en fonctions de

$x,\ \ y,\ \ {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}},\ \ {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\quad$et$\quad {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}\,;$

mais l’équation $\mathrm {K} =0,$ renfermant les différences de $m,n$ et $l,$ prises par rapport à $\varpi$ et à $\theta ,$ il faut connaître ces différences ; supposons conséquemment qu’il s’agisse d’avoir la valeur de ${\frac {\partial m}{\partial \varpi }}\,;$ on différentiera l’expression de $m$ par rapport à $x$ et par rapport à $y,$ ce qui donnera

$dm={\frac {\partial m}{\partial x}}dx+{\frac {\partial m}{\partial y}}dy\,;$

donc

${\frac {\partial m}{\partial \varpi }}={\frac {\partial m}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial m}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\,;$

on doit observer que les termes tels que

${\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{3}\varpi }{\partial y^{2}\partial x}},{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{3}\theta }{\partial y^{2}\partial x}},$

qui se rencontrent dans les quantités ${\frac {\partial m}{\partial x}}$ et ${\frac {\partial m}{\partial y}}$ peuvent être éliminés au moyen des équations (2) et (3), en sorte que ces quantités seront réduites à être fonctions de

$x,\ \ y,\ \ {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}},\ \ {\frac {\partial ^{3}\varpi }{\partial y^{3}}},\ \ {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}\$ et $\ {\frac {\partial ^{3}\theta }{\partial y^{3}}}\,;$

mais $\theta$ étant supposé constant, on a

$0={\frac {\partial \theta }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \theta }{\partial y}}dy$