partant, si l’on fait, pour simplifier,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {2h+f\left(a+{\sqrt {a^{2}-4b}}\right)}{2{\sqrt {a^{2}-4b}}}}=&h',\qquad &-{\frac {2h+f\left(a-{\sqrt {a^{2}-4b}}\right)}{2{\sqrt {a^{2}-4b}}}}=&f',\\{\frac {2e-ac+c{\sqrt {a^{2}-4b}}}{2\left(4b-a^{2}\right)}}=&c',\qquad &{\frac {2e-ac-c{\sqrt {a^{2}-4b}}}{2\left(4b-a^{2}\right)}}=&e',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c435731482d9f80458a98d00fd39f446cd40be1e)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {K} }{4b-a^{2}}}=\mathrm {K} '\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e683aa81f883c1ba1bf288a5f9fa5b43e91f0a3)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\mathrm {T} }{4b-a^{2}}}=\mathrm {T} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc723c85fa23eb999cb3bd5c0b0ba627b6a975b1)
en supposant d’ailleurs que l’on ait substitué dans
au lieu de
et de
leurs valeurs en
et
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {c'{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}}{h'\varpi +f'\theta }}+{\frac {e'{\cfrac {\partial z}{\partial \theta }}}{h'\varpi +f'\theta }}+{\frac {\mathrm {K} 'z}{(h'\varpi +f'\theta )^{2}}}+\mathrm {T} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2607968485f77f7aa5bb73d69d9b72df2d75bf3)
soit encore
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}=h'{\frac {\partial z}{\partial \varpi '}},\qquad {\frac {\partial z}{\partial \theta }}=f'{\frac {\partial z}{\partial \theta '}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ac7a83a5a30ce60277ca57dac55d6e3f1ec639)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}=f'h'{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi '\partial \theta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6880bf4cee6d4c49412538a5fcdb02e86d4ce0)
on aura ainsi
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi '\partial \theta '}}+{\frac {c'{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi '}}}{f'(\varpi '+\theta ')}}+{\frac {e'{\cfrac {\partial z}{\partial \theta '}}}{h'(\varpi '+\theta ')}}+{\frac {\mathrm {K} 'z}{f'h'(\varpi '+\theta ')^{2}}}+{\frac {\mathrm {T} '}{f'h'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79ea9a5d589700a26eca55d3698183c65861e68)
l’équation proposée sera donc ainsi réduite à une équation de cette forme
(Z)
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étant des constantes qui ne signifient plus la même chose que précédemment. Pour l’intégrer, on fera, suivant la méthode de l’article VII,
![{\displaystyle z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+{\frac {az}{\varpi +\theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ad008225857d400914baadac6fb1f99f2769f3)
et l’on arrivera à une équation de cette forme
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}z^{(1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a^{(1)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b^{(1)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {c^{(1)}z^{(1)}}{(\varpi +\theta )^{2}}}+\mathrm {T} ^{(1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fe7125c2b0dd632d8ae5b007a4145f79b7c05)