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en faisant encore

$z^{(2)}={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {a^{(1)}}{\varpi +\theta }}z^{(1)}$

et, continuant d’opérer ainsi, on arrivera à une équation de la forme suivante

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(r)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a^{(r)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b^{(r)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \theta }}+{\frac {c^{(r)}z^{(r)}}{(\varpi +\theta )^{2}}}+\mathrm {T} ^{(r)},$

$a^{(r)},b^{(r)}$ et $c^{(r)}$ étant des fonctions de $r,$ qu’il s’agit de déterminer.

Soit

$z^{(r+1)}={\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \theta }}+{\frac {a^{(r)}}{\varpi +\theta }}z^{(r)},$

et l’on aura

$(\sigma )\qquad 0={\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b^{(r)}}{\varpi +\theta }}z^{(r+1)}+z^{(r)}{\frac {c^{(r)}+a^{(r)}-a^{(r)}b^{(r)}}{(\varpi +\theta )^{2}}}+\mathrm {T} ^{(r)},$

d’où l’on tire

$0={\frac {1}{c^{(r)}+a^{(r)}-a^{(r)}b^{(r)}}}$

$\times \left[{\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \varpi }}(\varpi +\theta )^{2}+b^{(r)}z^{(r+1)}(\varpi +\theta )+\mathrm {T} ^{(r)}(\varpi +\theta )^{2}\right]+z^{(r)}.$

En différenciant cette équation par rapport à $\theta ,$ et ajoutant à cette équation ainsi différenciée l’équation elle-même multipliée par ${\frac {a^{(r)}}{\varpi +\theta }},$ on aura, en observant que

$z^{(r+1)}={\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \theta }}+{\frac {a^{(r)}}{\varpi +\theta }}z^{(r)},$

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial ^{2}z^{(r+1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a^{(r)}+2}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b^{(r)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \theta }}\\&+z^{(r+1)}\left(a^{(r)}+b^{(r)}+c^{(r)}\right)+{\frac {\partial \mathrm {T} ^{(r)}}{\partial \theta }}+\mathrm {T} ^{(r)}{\frac {a^{(r)}+2}{\varpi +\theta }}\,;\end{aligned}}$

mais on a

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(r+1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a^{(r+1)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b^{(r+1)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \theta }}+{\frac {c^{(r+1)}}{(\varpi +\theta )^{2}}}z^{(r+1)}+\mathrm {T} ^{(r+1)}\,;$

donc, en comparant, on aura

$a^{(r+1)}=a^{(r)}+2,\qquad b^{(r+1)}=b^{(r)},\qquad c^{(r+1)}=a^{(r)}+b^{(r)}+c^{(r)}$