Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/59

ensuite l’équation précédente, on aura

$z^{(r+1)}=(\varpi +\theta )^{-b}\left[\psi (\theta )-\int \mathrm {T} (\varpi +\theta )^{b}d\varpi \right],$

$\psi (\theta )$ étant une fonction arbitraire de $\theta \,;$ l’équation

$z^{(r+1)}={\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \theta }}+{\frac {a^{(r)}}{\varpi +\theta }}z^{(r)}$

donnera

$z^{(r)}=(\varpi +\theta )^{-(a+2r)}$

$\times \left\{\varphi (\varpi )+\int d\theta (\varpi +\theta )^{a+2r-b}\left[\psi (\theta )-\int \mathrm {T} ^{(r)}(\varpi +\theta )^{b}d\varpi \right]\right\},$

$\varphi (\varpi )$ étant une fonction arbitraire de $\varpi \,;$ ayant ainsi $z^{(r)},$ on aura, par l’article VII,

${\begin{aligned}z^{(r-1)}=&{\frac {{\cfrac {\partial z^{(r)}}{\partial \varpi }}+{\cfrac {bz^{(r)}}{\varpi +\theta }}+\mathrm {T} ^{(r-1)}}{ab-a-c+(b-a-1)(r-1)-(r-1)^{2}}},\\z^{(r-2)}=&{\frac {{\cfrac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \varpi }}+{\cfrac {bz^{(r-1)}}{\varpi +\theta }}+\mathrm {T} ^{(r-2)}}{ab-a-c+(b-a-1)(r-2)-(r-2)^{2}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite jusqu’à $z.$

X.

J’ai supposé, article VII, que l’expression complète de $z,$ considérée par rapport à l’une ou à l’autre des fonctions arbitraires $\varphi (\varpi )$ et $\psi (\theta ),$ était débarrassée du signe intégral ; je vais présentement discuter les cas dans lesquels ces deux fonctions sont nécessairement enveloppées sous ce signe : si l’on fait, pour plus de simplicité, $\mathrm {T} =0,$ on aura (article VII), en ne considérant que la seule fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$

${\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Je suppose d’abord qu’il n’y ait que des termes affectés du simple