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d’où l’on tire

$r={\frac {b-a-1\pm {\sqrt {(b+a-1)^{2}-4c}}}{2}}.$

Si l’une ou l’autre des valeurs de $r$ est zéro ou un nombre entier positif, la proposée sera intégrale en termes finis et débarrassés du signe $\int ,$ par rapport à la fonction arbitraire $\varphi (\varpi )\,;$ en changeant $a$ en $b,$ et réciproquement $b$ en $a,$ dans cette expression de $r,$ on aura

$r={\frac {a-b-1\pm {\sqrt {(b+a-1)^{2}-4c}}}{2}},$

et si l’une ou l’autre de ces expressions de $r$ est zéro, ou un nombre entier positif, la proposée sera intégrale en termes finis et délivrés du signe $\int ,$ par rapport à la fonction arbitraire $\psi (\theta )\,;$ mais si aucune des quatre valeurs de $r$ n’est zéro, ou un nombre entier positif, on sera sur alors que l’intégrale est impossible en termes finis, comme nous le démontrerons ci-après.

Supposons maintenant que l’on ait

$0=c^{(r)}+a^{(r)}-a^{(r)}b^{(r)},$

l’équation $(\sigma )$ donnera

$0={\frac {\partial z^{(r+1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {bz^{(r+1)}}{\varpi +\theta }}+\mathrm {T} ^{(r)}\,;$

pour déterminer $\mathrm {T} ^{(r)},$ on observera que l’on a, par ce qui précède,

$\mathrm {T} ^{(r+1)}={\frac {\partial \mathrm {T} ^{(r)}}{\partial \theta }}+{\frac {a+2r+2}{\varpi +\theta }}\mathrm {T} ^{(r)}\,;$

et si l’on fait successivement $r=0,\ =1,\ =2,\ldots ,$ on aura

$\mathrm {T} ^{(1)}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \theta }}+{\frac {a+2}{\varpi +\theta }}\mathrm {T} ,$

$\mathrm {T} ^{(2)}={\frac {\partial \mathrm {T} ^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {a+4}{\varpi +\theta }}\mathrm {T} ^{(1)}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {T} }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {2(a+3)}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \theta }}+{\frac {(a+2)(a+3)}{(\varpi +\theta )^{2}}}\mathrm {T} \,;$

en continuant ce procédé, on aura l’expression de $\mathrm {T} ^{(r)}\,;$ si l’on intègre