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quantités débarrassées du signe $\int ,$ ce qui ne peut être ; donc ${\frac {\mathrm {K} }{\varpi }}=0\,;$ partant, $\mathrm {K}$ ne peut être fonction que de $\theta \,;$ on peut ainsi le faire passer sous le signe $\int$ dans le terme $\mathrm {K} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \,;$ l’équation $(\lambda )$ devient alors

$\int \left({\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}+\mathrm {KC} \right)\varphi (\varpi )d\varpi =\mathrm {M} \varphi '(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi (\varpi )+\ldots .$

En la multipliant par $e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta ,\ e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on aura

$\int e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta \left({\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}+\mathrm {KC} \right)\varphi (\varpi )d\varpi$

$=\mathrm {M} e^{\int \mathrm {K} d\theta }\varphi '(\varpi )d\theta +\mathrm {M} 'e^{\int \mathrm {K} d\theta }\varphi (\varpi )d\theta +\ldots \,;$

en intégrant cette équation par rapport à $\theta$ et faisant

$\mathrm {M} e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta =\mathrm {N} ,\qquad \mathrm {M} 'e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta =\mathrm {N} ',\qquad \ldots ,$

on aura

$\int e^{\int \mathrm {K} d\theta }\mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi =\mathrm {N} \varphi '(\varpi )+\mathrm {N} '\varphi (\varpi )+\ldots \,;$

donc

$\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi ={\frac {\mathrm {N} }{e^{\int \mathrm {K} d\theta }}}\varphi '(\varpi )+\ldots ,$

équation impossible, puisque $\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi$ ne peut être, par hypothèse, donné en quantités débarrassées du signe $\int ,$ par rapport à la fonction arbitraire $\varphi (\varpi ).$

De là, il suit que l’on a

${\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} =0\,;$

or on doit avoir en même temps

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \theta }}+l\mathrm {B} ,$

car autrement l’équation $(\gamma )$ donnerait

$\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi ={\frac {-\mathrm {L} \varphi '(\varpi )-\mathrm {L} '\varphi (\varpi )-\ldots }{{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \theta }}+l\mathrm {B} }},$