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or il peut arriver plusieurs cas que nous allons discuter séparément :

1^o Les deux équations

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} ',\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {B} '\end{aligned}}$

peuvent avoir lieu en même temps ; il est visible qu’alors l’équation $z=\mathrm {B} '\psi (\theta )$ satisfait à l’équation (Z), et qu’ainsi l’intégrale de cette dernière équation, considérée par rapport à la fonction arbitraire $\psi (\theta ),$ est délivrée du signe $\int .$

2^o L’équation

$0={\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} '$

ayant lieu, il peut arriver que celle-ci

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {B} '$

n’ait point lieu ; dans ce cas, l’équation (F) donnera pour $\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi$ une expression de cette forme

${\begin{aligned}\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi =&\mathrm {Q} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {Q} '\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {M} \varphi '(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi (\varpi )+\ldots \,;\end{aligned}}$

l’expression de $z$ peut être ainsi mise sous cette forme

$(\mu )\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}z=&\mathrm {A} \varphi '(\varpi )+\mathrm {A} '\varphi (\varpi )+\mathrm {A} ''\varphi _{1}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {H} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {H} '\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi .\end{aligned}}\right.$

3^o L’équation

$0={\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} '$