or il peut arriver plusieurs cas que nous allons discuter séparément :
1o Les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} ',\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {B} '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91259951bd1d59ad14a02e906c2e01986c98ae4c)
peuvent avoir lieu en même temps ; il est visible qu’alors l’équation
satisfait à l’équation (Z), et qu’ainsi l’intégrale de cette dernière équation, considérée par rapport à la fonction arbitraire
est délivrée du signe ![{\displaystyle \int .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99946faf587af3958c69fffda908211b3c855c6d)
2o L’équation
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5465321c0b3591571115a1ef3d216f69fa3b93)
ayant lieu, il peut arriver que celle-ci
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {B} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8644aeffc7905368a5f7edb19d0e85882eae2157)
n’ait point lieu ; dans ce cas, l’équation (F) donnera pour
une expression de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi =&\mathrm {Q} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {Q} '\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {M} \varphi '(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi (\varpi )+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca409dd6e963dfde4904d88c9d0d329b2bc105f5)
l’expression de
peut être ainsi mise sous cette forme
![{\displaystyle (\mu )\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}z=&\mathrm {A} \varphi '(\varpi )+\mathrm {A} '\varphi (\varpi )+\mathrm {A} ''\varphi _{1}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {H} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {H} '\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28062494de75719927b4f0d8aa1d727e20e32f24)
3o L’équation
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5465321c0b3591571115a1ef3d216f69fa3b93)