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tuée dans l’expression de $z,$ la rendra de cette forme

$(\mu ')\qquad \left\{{\begin{aligned}z=&A\varphi ''(\varpi )+A'\varphi '(\varpi )+A''\varphi (\varpi )+A'''\varphi _{1}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {H} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {H} '\int {\frac {\partial \mathrm {C} '}{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \,;\end{aligned}}\right.$

si l’on a ${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}=0,\ \mathrm {K}$ sera fonction de $\varpi$ sans $\theta \,;$ or, si dans ce cas ${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}$ et ${\frac {\partial \mathrm {K} ''}{\partial \varpi }}$ ne sont pas nuls, l’équation $(\lambda ')$ sera de forme analogue à celle de l’équation $(\lambda )$ de l’article précédent ; ainsi, en y appliquant le raisonnement que nous avons fait dans le même article sur l’équation $(\lambda ),$ on prouvera que $\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi$ peut être débarrassé du signe $\int ,$ ce qui est contre l’hypothèse ; $\mathrm {K,K'}$ et $\mathrm {K} ''$ doivent donc être fonctions de $\theta$ seul ; on aura, cela posé,

$\int \left({\frac {\partial \mathrm {C} '}{\partial \theta }}+\mathrm {KC'} \right)\varphi (\varpi )+\int \left(\mathrm {K'C} +\mathrm {K} ''{\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\right)\varphi (\varpi )=\mathrm {M} \varphi '(\varpi )+\ldots .$

En multipliant cette équation par $e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta ,$ on aura

$\int \left({\frac {\partial \mathrm {C} '}{\partial \theta }}+\mathrm {KC'} \right)e^{\int \mathrm {K} d\theta }\varphi (\varpi )d\varpi d\theta$

+\int\mathrm{K'C}e^{\int\mathrm Kd\theta}\varphi(\varpi)d\varpi d\theta+

$\int \mathrm {K} ''{\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}e^{\int \mathrm {K} d\theta }\varphi (\varpi )d\varpi d\theta =\mathrm {M} e^{\int \mathrm {K} d\theta }\varphi '(\varpi )d\theta +\ldots ,$

et, en intégrant par rapport à $\theta ,$ on a

${\begin{aligned}\int \mathrm {C} 'e^{\int \mathrm {K} d\theta }\varphi (\varpi )d\varpi &+\int \varphi (\varpi )d\varpi \int \mathrm {K'C} e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta \\&+\int \varphi (\varpi )\mathrm {K''C} e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta d\varpi -\int \varphi (\varpi )d\varpi \int \mathrm {C} {\frac {\partial \mathrm {K} ''}{\partial \theta }}e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta \\\end{aligned}}$

$=\varphi '(\varpi )\int \mathrm {M} e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta +\ldots$^[1].

Soit

$\mathrm {K} 'e^{\int \mathrm {K} d\theta }-{\frac {\partial \mathrm {K} ''}{\partial \theta }}e^{\int \mathrm {K} d\theta }={\frac {1}{\mathrm {I} }}\qquad$et$\qquad \int {\frac {\mathrm {C} d\theta }{\mathrm {I} }}=\mathrm {\sideset {^{1}}{}C} ,$

1. Il faudrait ajouter au premier membre de cette équation le terme
   $-\int \varphi (\varpi )d\varpi \int \mathrm {K''CK} e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta .$