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on aura

$\mathrm {C=I} {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}C} }{\partial \theta }}$

et

$\int \varphi (\varpi )d\varpi \mathrm {K''C} e^{\int \mathrm {K} d\theta }=\mathrm {IK''} e^{\int \mathrm {K} d\theta }\int {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi ,$

parce que $\mathrm {IK'} e^{\int \mathrm {K} d\theta },$ étant fonction de $\theta$ seul, peut être mis hors du signe $\int \,;$ partant

$\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi =$

${\frac {-\int \mathrm {\sideset {^{1}}{}C} \varphi (\varpi )d\varpi -\mathrm {IK''} e^{\int \mathrm {K} d\theta }\int {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\varphi '(\varpi )\int \mathrm {M} e^{\int \mathrm {K} d\theta }d\theta +\ldots }{e^{\int \mathrm {K} d\theta }}}.$

On a ensuite

$\int \mathrm {C} d\varpi =\mathrm {I} \int {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}C} }{\partial \theta }})d\varpi \,;$

substituant ces quantités dans l’expression précédente de $z,$ elle prendra la forme que donne l’équation $(\mu '),$ et comme cette forme renferme celle que donne l’équation $(\mu ),$ il en résulte généralement que l’expression de $z$ est débarrassée du signe $\int ,$ par rapport à la fonction arbitraire $\psi (\theta ),$ ou que, si cela n’est pas, elle est de la forme suivante, par rapport à la fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$

${\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi ''(\varpi )+A'\varphi '(\varpi )+A''\varphi (\varpi )+A'''\varphi _{1}(\varpi )} +\ldots \\&+\mathrm {H} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {H} '\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi .\end{aligned}}$

Cette valeur de $z$ substituée dans l’équation (Z) produira une équation de cette forme

(G)

$\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \pi }}+n\mathrm {H} '\right)\int {\frac {\partial ^{2}\mathrm {C} }{\partial \theta ^{2}}}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {H} '+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {H} \right)\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}+l\mathrm {H} \right)\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&=\mathrm {L} \varphi '''(\varpi )+\mathrm {L} '\varphi ''(\varpi )+\mathrm {L} ''\varphi '(\varpi )+\ldots .\end{aligned}}\right.$