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aux différences partielles

(V)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\frac {b}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z}{\partial \theta }},$

laquelle est intégrale (art. IX) si l’une des quatre valeurs suivantes de $r,$

$r=b-1,\qquad r=-a,\qquad r=a-1,\qquad r=-b,$

est un nombre entier positif. Soit $a=-1,$ et l’on aura (art. IX) $r=1\,;$ mais on a, par le même article,

$0={\frac {\partial z^{(2)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b}{\varpi +\theta }}z^{(2)},$

ce qui donne, en intégrant,

$z=(\varpi +\theta )^{-b}\psi (\theta )\,;$

on aura ensuite (même article)

$z^{(2)}={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\varpi +\theta }}z^{(1)}\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$z^{(1)}={\frac {1}{\varpi +\theta }}\left[\varphi (\varpi )+\int (\varpi +\theta )^{1-b}\psi (\theta )d\theta \right]\,;$

on a enfin

$z={\frac {{\cfrac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\cfrac {b}{\varpi +\theta }}z^{(1)}}{1-b}}$

$={\frac {1}{(1-b)(\varpi +\theta )}}\left[\varphi '(\varpi )+(1-b)\int (\varpi +\theta )^{-b}\ \ \psi (\theta )d\theta \right]$

$-{\frac {1}{\varpi +\theta }}\left[\varphi (\varpi )+\ \quad \qquad \int (\varpi +\theta )^{1-b}\psi (\theta )d\theta \right].$

Pour déterminer présentement les fonctions arbitraires $\varphi (\varpi )$ et $\psi (\theta ),$ supposons que, à l’origine de l’intégrale, on ait

$\varpi =\theta ,\qquad z=sin\theta \qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial z}{\partial \theta }}={\frac {\sin \theta }{2\theta }}\,;$

on aura, à cette origine,

$dz=\cos \theta d\theta ={\frac {\partial z}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}d\varpi \,;$