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on a (art. VII)

$z^{(r)}=e^{-\int nd\varpi }\left[\psi (\theta )-\int e^{\int nd\varpi }\mathrm {T} ^{r-1}d\varpi \right]\,;$

mais, $\varpi$ étant donné en fonction de $\theta ,$ à l’origine de l’intégrale, on aura à ce point

$e^{-\int nd\varpi }\qquad$et$\qquad e^{-\int nd\varpi }\int e^{\int nd\varpi }\mathrm {T} ^{r-1}d\varpi ,$

en fonction de $\theta \,;$ soit

$e^{-\int nd\varpi }=\mathrm {R} \qquad$ et $\qquad e^{-\int nd\varpi }\int e^{\int nd\varpi }\mathrm {T} ^{r-1}d\varpi =\mathrm {V} ,$

on aura

$\nabla (\theta )=\mathrm {R} \psi (\theta )-\mathrm {V} \,;$

donc

$\psi (\theta )={\frac {\mathrm {V} +\nabla (\theta )}{\mathrm {R} }}\,;$

or $\mathrm {V} ,\nabla (\theta )$ et $\mathrm {R}$ étant des fonctions connues de $\theta ,$ on aura la forme de la fonction arbitraire $\psi (\theta ).$

Pour avoir celle de la fonction arbitraire $\varphi (\varpi ),$ on observera que l’on a

$z^{(r-1)}=$

$e^{-\int m^{(r-1)}d\theta }\left\{\varphi (\varpi )+\int e^{\int m^{(r-1)}d\theta -\int nd\varpi }d\theta \left[\psi (\theta )-\int e^{\int nd\varpi }\mathrm {T} ^{r-1}d\varpi \right]\right\}\,;$

or on a, à l’origine de l’intégrale, $z^{(r-1)}$ en fonction de $\theta ,$ et à cause de la relation qui existe à ce point, entre $\varpi$ et $\theta ,$ on aura $z^{(r-1)}$ en fonction de $\varpi \,;$ on aura pareillement

$e^{-\int m^{(r-1)}d\theta }\ {\text{ et }}\ e^{-\int m^{(r-1)}d\theta }\int e^{\int m^{(r-1)}d\theta -\int nd\varpi }d\theta \left[\psi (\theta )-\int e^{\int nd\varpi }\mathrm {T} ^{r-1}d\varpi \right]$

en fonctions de $\varpi \,;$ nommons donc $\mathrm {Q}$ la première de ces quantités, $-\mathrm {S}$ la seconde, et faisons $z^{(r-1)}=\mathrm {F} ,$ nous aurons

$\mathrm {F=Q\varphi (\varpi )-S} \,;$

donc

$\varphi (\varpi )=\mathrm {\frac {F+S}{Q}} ,$

équation au moyen de laquelle on connaîtra $\varphi (\varpi ).$

Pour donner un exemple de cette méthode, considérons l’équation