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on a, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$

$\varpi '=\varpi \qquad {\text{et}}\qquad \theta '=\theta \,;$

d’où l’on tire, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\alpha \mu '=\alpha \mu \,;$

partant,

$r=0,$

ce qui, d’ailleurs, est visible a priori. En adoptant le signe $+,$ on a

$r=2a(1+\alpha \mu )\sin p\sin q+{\frac {\alpha a(\mu '-\mu )}{\sin p\sin q}},$

et c’est l’expression de $\mathrm {MR} \,;$ il faut, présentement, déterminer $\theta '$ et $\varpi '$ en fonctions de $p$ et de $q.$ Pour cela, on abaissera des points $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Z}$ les perpendiculaires $\mathrm {RK}$ et $\mathrm {ZK}$ sur $\mathrm {AB} \,;$ en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$ comme cela est ici permis, $\theta '$ et $\varpi '$ ne se trouvant que dans $\mu '$ qui est déjà multiplié par $\alpha ,$ on aura

$\mathrm {CK} =a\cos \theta '\,;$

de plus, si l’on mène $\mathrm {LH}$ perpendiculairement sur $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {ZS}$ perpendiculairement sur $\mathrm {LH} ,$ on aura

$\mathrm {CH=CL} \cos \theta =(a-r\sin p\sin q)\cos \theta$

et

$\mathrm {ZS=KH} =r\sin p\cos q\sin \theta \,;$

donc

$\mathrm {CK=CH+HK} =a\cos \theta +r\sin p(\sin \theta \cos q-\cos \theta \sin q)\,;$

donc

$\cos \theta '=\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\,;$

on a ensuite

$\sin(\varpi '-\varpi )=\mathrm {\frac {RZ}{RK}} ={\frac {r\cos p}{a\sin \theta '}}={\frac {2\sin p\cos p\sin q}{\sin \theta '}}\,;$

on déterminera donc $\varpi '$ et $\theta '$ au moyen des équations

$\sin(\varpi '-\varpi )={\frac {2\sin p\cos p\sin q}{\sin \theta '}},$

$\cos \theta '=\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)$