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$\alpha$ étant infiniment petit ; $\mu$ sera une fonction de $\varpi$ et de $\theta \,;$ soient encore $\theta '$ l’angle $\mathrm {RCA} ,$ et $\varpi '$ la longitude du point $\mathrm {R} ,$ on aura

$\mathrm {RC} =a(1+\alpha \mu '),$

$\mu '$ étant pareille fonction de $\varpi '$ et des $\theta '$ que $\mu$ l’est de $\varpi$ et de $\theta$. Si des points $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Z}$ on abaisse les perpendiculaires $\mathrm {RL}$ et $\mathrm {ZL} ,$ sur $\mathrm {MC} ,$ on aura or et donc

$\mathrm {{\overline {RL}}^{2}={\overline {ZL}}^{2}+{\overline {RZ}}^{2}} \,;$

or

$\mathrm {ZL} =r\sin p\cos q$

et

$\mathrm {RL} =r\cos p\,;$

donc

$\mathrm {{\overline {RL}}^{2}} =r^{2}\sin ^{2}p\cos ^{2}q+r^{2}\cos ^{2}p\,;$

de plus

$\mathrm {ML} =r\sin p\sin q\,;$

donc

$\mathrm {CL} =a(1+\alpha \mu )-r\sin p\sin q\,;$

partant,

$\mathrm {{\overline {CR}}^{2}={\overline {CL}}^{2}+{\overline {RL}}^{2}}$

$=a^{2}(1+\alpha \mu )^{2}-2a(1+\alpha \mu )r\sin p\sin q+r^{2}=a^{2}(1+\alpha \mu ')^{2}\,;$

on aura donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ comme nous le ferons toujours dans la suite,

$r^{2}-2ar(1+\alpha \mu )r\sin p\sin q=2\alpha a^{2}(\mu '-\mu ),$

d’où l’on tire

$r=a(1+\alpha \mu )r\sin p\sin q\pm \left[a\sin p\sin q(1+\alpha \mu )+{\frac {\alpha a(\mu '-\mu )}{\sin p\sin q}}\right].$

Il faut substituer dans $\mu ',$ au lieu de $\varpi '$ et de $\theta ',$ les valeurs qui leur conviennent ; or, en adoptant le signe $-,$ on a

$r={\frac {\alpha a(\mu '-\mu )}{\sin p\sin q}},$

ce qui indique que le point $\mathrm {R}$ est infiniment voisin du point $\mathrm {M} ,$ et alors