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par rapport à $\theta '$ et à $q,$ on aura

$\sin \theta 'd\theta '=-2\sin ^{2}p\sin(\theta -2q)dq\,;$

partant

${\frac {\partial \theta '}{\partial q}}=-{\frac {2\sin ^{2}p\sin(\theta -2q)}{\sin \theta '}}\,;$

en differentiant ensuite l’équation

$\sin(\varpi '-\varpi )={\frac {2\sin p\cos p\sin q}{\sin \theta '}},$

par rapport à $\varpi '$ et à $q,$ on aura

$\cos(\varpi '-\varpi )d\varpi '={\frac {2\sin p\cos p\cos qdq}{\sin \theta '}}-{\frac {2\sin p\cos p\sin q\cos \theta '{\frac {\partial \theta '}{\partial q}}dq}{\sin ^{2}\theta '}},$

d’où l’on tirera, en substituant au lieu de ${\frac {\partial \theta '}{\partial q}}$ sa valeur,

${\frac {\partial \mu '}{\partial q}}={\frac {2\sin p\cos p\cos q}{\sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )}}+{\frac {4\sin ^{3}p\cos p\sin q\cos \theta '\sin(\theta -2q)}{\sin ^{3}\theta '\cos(\varpi '-\varpi )}}\,;$

partant

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mu '}{\partial q}}=&-{\frac {\partial \mu '}{\partial \theta '}}{\frac {2\sin ^{2}p\sin(\theta -2q)}{\sin \theta '}}\\+&{\frac {\partial \mu '}{\partial \varpi '}}\left[{\frac {2\sin p\cos p\cos q}{\sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )}}+{\frac {4\sin ^{3}p\cos p\sin q\cos \theta '\sin(\theta -2q)}{\sin ^{3}\theta '\cos(\varpi '-\varpi )}}\right]\,;\end{aligned}}$

on aura donc

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} =-{\frac {2}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}-{\frac {1}{2}}\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial \mu '}{\partial q}}{\frac {\sin ^{2}p-\cos ^{2}p}{\sin p}}dpdq\,;$

or, en intégrant par rapport à $q,$ on a

$\int {\frac {\partial \mu '}{\partial q}}dq=\mu '+\mathrm {H} .$

La constante arbitraire doit se déterminer par la condition que l’intégrale commence lorsque $q=0\,;$ et, dans ce cas, on a $\theta '=\theta$ et $\varpi '=\varpi \,;$ donc $\mu '=\mu \,;$ partant $\mathrm {H} =-\mu ,$ et

$\int {\frac {\partial \mu '}{\partial q}}dq=\mu '-\mu \,;$