mais l’intégrale doit se terminer lorsque
et, dans ce cas, on a
et
partant
donc
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\partial \mu '}{\partial q}}dq=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127f39d403421a0f3fdfb357ebb8a8fa22446f36)
ce qui donne
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} +{\frac {2}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18cb9c74cb30481f6d6e87e86e98d3d08528c5d)
équation analogue à celle que j’ai donnée pour les sphéroïdes de révolution, dans les Mémoires de l’Académie déjà cités, page 545[1].
On aura, en suivant la même analyse, une équation à peu près semblable entre
et
mais, au lieu de recommencer les mêmes calculs, il est plus simple de tirer cette équation de l’équation
Pour cela, considérons un point
infiniment voisin de
placé en même temps à la surface du sphéroïde et dans le plan
si l’on fait
et que l’on nomme
ce que devient
pour le point
et
ce que devient
pour le même point, on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\sideset {^{1}}{}A-A} }{d\theta }}={\frac {\partial A}{\partial \theta }}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\sideset {^{1}}{}\mu -\mu }{d\theta }}={\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2bea91f6a088e7933da335b868e38320f2e0e0)
l’équation
devient conséquemment
![{\displaystyle (\lambda )\qquad \qquad \qquad \mathrm {\sideset {^{1}}{}A-A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {B} d\theta +{\frac {2}{3}}\alpha \pi \left(\sideset {^{1}}{}\mu -\mu \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6e434ef28936aac250c8d15fc87792653b5646)
Imaginons par les points
et
un plan
perpendiculaire au plan
et considérons un point
infiniment voisin de
placé en même temps à la surface du sphéroïde et dans le plan
soit
l’angle
et soient
et
ce que deviennent
et
au point
il est clair que, par la même raison que l’équation
a lieu, celle-ci
![{\displaystyle (\lambda ')\qquad \qquad \qquad \mathrm {A_{1}-A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {C} d\varphi +{\frac {2}{3}}\alpha \pi \left(\mu _{1}-\mu \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465114fb6ce39ff378899bc70541e9660534cbcb)
doit avoir lieu ; présentement, l’angle
ne diffère de l’angle
que d’un infiniment petit du second ordre, en sorte que, si l’on sup-
- ↑ Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 491.