Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/96

posée suivant $\mathrm {M} m',$ donnera une force égale à

$-{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \varpi }}{\sin \theta }}.$

La force $\mathrm {B} ,$ étant de l’ordre $\alpha ,$ donnera suivant $\mathrm {M} m,$ en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ une force égale à $\mathrm {B} ,$ et suivant $\mathrm {M} m'$ une force nulle. Pareillement, la force $\mathrm {C}$ donnera suivant $\mathrm {M} m$ une force nulle, et suivant $Mm'$ une force égale à $\mathrm {C} .$ Supposons ensuite que le point $\mathrm {M}$ soit animé : 1^o d’une force $\alpha \mathrm {M} ,$ dirigée de $\mathrm {M}$ vers $\mathrm {V} \,;$ 2^o d’une force $\alpha \mathrm {N} ,$ dirigée de $\mathrm {M}$ vers $\mathrm {Q} \,;$ 3^o d’une force $\alpha \mathrm {R} ,$ dirigée de $\mathrm {M}$ vers $\mathrm {C} \,;\ \mathrm {M,N}$ et $\mathrm {R}$ étant des fonctions quelconques de $\varpi$ et de $\theta ,$ on aura pour la force entière, dont le point $\mathrm {M}$ est animé suivant $\mathrm {M} m,$

$\alpha f\sin \theta \cos \theta +\alpha \mathrm {M+B} -{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}\,;$

et, comme cette force doit être nulle par la condition de l’équilibre, on aura l’équation

$(a'')\qquad \qquad \qquad \alpha f\sin \theta \cos \theta +\alpha \mathrm {M+B} ={\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}.$

On aura semblablement pour la force entière, dont le point $\mathrm {M}$ est animé suivant $\mathrm {M} m',$

$\alpha \mathrm {N+C} -{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \varpi }}{\sin \theta }},$

et, cette force devant être encore nulle dans le cas de l’équilibre, on aura l’équation

$(a''')\quad \qquad \qquad \qquad \sin \theta (\mathrm {C+\alpha N} )={\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \varpi }}\,;$

enfin, la force entière dont le point $\mathrm {M}$ est animé suivant $\mathrm {MC}$ est $\mathrm {A} -\alpha f\sin ^{2}\theta +\alpha \mathrm {R} \,;$ or il est facile de s’assurer que la pesanteur au point $\mathrm {M} ,$ ou, ce qui revient au même, que la résultante des trois forces, suivant $\mathrm {MC,MV}$ et $\mathrm {MQ} ,$ ne diffère de la force, suivant $\mathrm {MC} ,$ que