gagne son adversaire, joue avec le troisième, et s’il le gagne, la partie est finie. S’il est vaincu, le vainqueur joue avec l’autre, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie : on demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d’abord la probabilité qu’elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup n moins un, et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si au lieu de gagner le coup n moins un, il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l’autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu’un des joueurs entrera au jeu au coup n moins un, et le gagnera, est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup ; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au coup n, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu’un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n ; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu’on y diminue n de l’unité. Cette égalité forme une de ces équations que l’on nomme équations aux différences finies ordinaires.
