On peut déterminer facilement à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu’au second coup ; et pour cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire, gagne au second coup le troisième joueur ; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc . De là, en vertu de l’équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont pour le troisième coup, pour le quatrième, etc. ; et généralement élevé à la puissance n moins un, pour le nième coup. La somme de toutes ces puissances de est l’unité moins la dernière de ces puissances ; c’est la probabilité que la partie sera terminée, au plus tard, dans n coups.
Considérons encore le premier problème un peu difficile, que l’on ait résolu sur les probabilités et que Pascal proposa de résoudre à Fermat. Deux joueurs Α et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui, le premier, aura vaincu l’autre un nombre donné de fois, gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu : après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande
