SYME
Quant aux fonctions fractionnaires, comme les termes en seront naturellement des fonctions symétriques distinctes, on les obtiendra en en calculant séparément le numérateur et le dénominateur.
On voit donc que toute fonction symétrique quelconque des racines d’une équation peut être exprimée au moyen de ses coefficients. Réciproquement, toute fonction symétrique donnée de m lettres pouvant être formulée en fonction des coefficients de l’équation qui aurait pour racines les valeurs de ces m lettres, on pourra obtenir m équations entre ces coefficients dès que l’on aura les valeurs de m fonctions symétriques des lettres considérées. On pourra donc calculer ces coefficients et appliquer la méthode précédente pour obtenir ensuite toutes les fonctions symétriques imaginables des mêmes lettres.
Le calcul des fonctions symétriques fournit la méthode la plus naturelle et la plus simple
Ïiour effectuer toutes les transformations sur es équations, c’estrk-dire pour déduire d’équations données d’autres équations dont les racines se forment, suivant des lois connues, de celles des proposées. Tous les résultats des combinaisons, conformes k un certain type, des racines de la proposée devant fournir des racines de la transformée, les fonctions symétriques des racines de cette transformée, et notamment ses coefficients, doivent être des fonctions symétriques des racines de la proposée. Ces fonctions peuvent toujours être aisément déterminées de forme et il ne reste qu’à les calculer pour obtenir l’équation cherchée.
On peut aussi bien chercher à former les sommes des puissances entières des racines de la transformée, pour en déduire ensuite les coefficients de cette transformée, au moyen des équations posées plus haut. On emploie l’une ou l’autre des deux méthodes, selon les cas.
Nous ne traiterons ici que d’un seul exemple, qui se recommande par son importance, celui de la formation de l’équation dont les racines seraient les carrés des différences des racines d’une équation donnée. L’équation aux carrés des différences a été, comme on sait, imaginée par Lagrange pour servir à la séparation des racines réelles d’une équation et a fourni la première méthode sûre pour la résolution des équations numériques.
Soient f(x) = 0 l’équation proposée, et a, 6, c, ..., A, l les racines ; ses sommes à calculer sont ï{a-bfP. Posons
9(x) = (x-a)*P + (x-b)*P +...,
c’est-à-dire
?(x) = mx2P — Zp&.x^P - ’
+ 2jo(2p-l)S, x2P-s +...,
en remplaçant successivement, dans i{x), x par a, par b, etc., et ajoutant, on aura évidemment
ï, f(a)>=ïi{a— 6)2P ;
or, la sommation donnera évidemment S ?(a) = mSîp — 2pS, S2j, i + Zp(ap — 1)S, S2j> 2 —.... On aura donc ^—6)2 ?= IjmSjip —2pSlS2j) i -f- —.
L’expression entre crochets ayant ses termes à égale distance des extrêmes égaux, pour en avoir la moitié on en calculera lesp premiers termes, à la somme desquels on ajoutera la moitié du p + iteme.
La méthode des fonctions symétriques est employée aussi avec avantage dans la pratique de l’élimination.
Soient f(x, y) = 0 et <f(x, y) = 0 deux équations entre lesquelles il s’agisse d’éliminer <r ; si a, b, c, ..., k, l désignaient les fonctions de* y formant les valeurs de x tirées de l’équation f[x, y) = 0, l’équation cherchée serait évidemment
Or, les coefficients de ce produit développé et ordonné par rapport à y seraient évidemment des fonctions symétriques de a, b, c, ..., k l ; on peut toujours former ces fonctions, puisqu’il ne s’agit que d’effectuer une multiplication ; on pourra même généralement, sans la faire, prévoir la composition des coefficients du produit.
Or, les fonctions symétriques de a, b, c, ..., A / sont elles-mêmes des fonctions des coefficients de l’équation f(x, y) = 0, ordonnées par rapport à a :, et ces fonctions peuvent être calculées au moyen de la théorie générale exposée plus haut. On pourra donc, par substitution, former l’équation finale en y.
Cette méthode d’élimination exige souvent des calculs très-pénibles, mais elle a l’avantage de fournir toujours l’équation finale sans intrusion d’aucun facteur étranger, et cette condition peut en rendre l’emploi indispensable.
La méthode d’élimination par les fonctions symétriques permet de déterminer le degré maximum de l’équation finale, degré que des réductions particulières peuvent diminutif
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dans la pratique. Soient m et n les degrés des équations f(x, y) = 0 et i(x, y) ■= 0, que nous supposerons complètes ; soient
f(u, y) = A..» + A, *"1 - l +••• + Am
et
?(x, y) = B, yn + Blyn-*+B, yn-i+-.+Bn ;
les degrés de A, A, ..., Am en y et de B,
B, ... Bu en x seront indiqués par les indices mêmes de ces coefficients ; le produit
l(a, y)--i(b, y)...9(l, y),
étant composé de m facteurs, sera le degré de mn en y, et si on le désigne par
C*"w -f- C, ymn-1 + C, y'mn' ~2 +... +Cmn, les degrés des coefficients C, C, ..., Cmn seront aussi indiqués par leurs indices respectifs ; ce seront d’ailleurs des fonctions symétriques entières de n, b, c, ..., I ; elles supprimeront donc C, au moyen de A, seulement, C, au moyen de A, et de A, C, au moyen de A„ A, et A„ etc., c’est-à-dire qu’elles seront représentées par des fonctions du premier, du second, du troisième degré, etc., en y ; par conséquent, la substitution de ces fonctions fournira une équation de degré mn en y.
SYMETRIQUEMENT adv. (si-mé-tri-keman — rad. symétrique). D’une manière symétrique, avec symétrie : Disposer symétriquement (otites les parties d’un bâtiment.
SYMÉTRISER v. n. ou intr. (si-mé-tri-zé — rad. symétrie). Être disposé symétriquement -• Les deux pavillons de ce bâtiment symbtrisent. (Aoad.) il Peu usité.
— v. a. ou tr. Rendre symétrique : L’esprit de l’homme tend invinciblement à classer, grouper, symétrisbr ses idées. (Proudh.)
SYMIRE s. t. (si-mi-re). Entom. Genre d’insectes lépidoptères nocturnes, de la tribu des noctuides. Infus. Genre d’infusoires, de la famille
des volvociens. Encycl. Entom. Les symires ou simyres
sont caractérisées par des antennes courtes, pectinées ou ciliées chez les mâles, plus longues et filiformes chez les femelles ; des palpes courtes, grêles ; ilne trompe rudimentaire ; le corselet arrondi ; l’abdomen terminé carrément chez les mâles et en pointe obtuse chez les femelles ; les ailes à fond clair, de couleur terne et à frange entière. Les chenilles sont cylindriques, avec des points verruqueux, portant des bouquets de poils ; elles vivent sur les plantes basses, notamment sur les graminées, et se renferment, pour se métamorphoser, dans des coques composées de soie et de débris de végétaux. Ce genre comprend six espèces, dont deux habitent le midi de la France. La symire veinée a les ailes antérieures d’un jaune nankin pâle, ponctuées de brun, avec les nervures blanches et trois lignes noires, et les ailes postérieures d’un jaune blanchâtre.
SYMMACHIE s. f. (simm-ma-kl — du préf. sym, et du gr. mâché, combat). Antiq. gr. Alliance offensive et défensive entre deux États.
— Entom. Genre d’insectes lépidoptères diurnes, de la tribu des papilionides.
SYMMAQUE (Cselius), pape, né à Simagia (Sardaigne) vers 440, mort à Rome en 5)4. Il était diacre de l’Église de Rome lorsque, après la mort d’Anastase II, il fut élu pape le 22 novembre 498. Mais, ce même jour, !e patrice Festus entraînait une partie du clergé k choisir pour souverain pontife l’archidiacre Laurent. À la suite de troubles qui se produisirent à Rome au sujet de cette double élection, on convint de prendre pour arbitre le roi Théodoric, bien qu’il fût arien. Ce prince se prononça en faveur de Symmaque, qui fut reconnu innocent dans un concile réuni dans cette ville en 499. Toutefois, Laurent ne renonça pas à ses prétentions. Devenu évêque de Nocera, il accusa, en 503, Symmaque de divers crimes, notamment d adultère et de rapacité. Les troubles recommencèrent à Rome et prirent un caractère des plus graves. Un concile, réuni à Palma, instruisit l’affaire et déclara Symmaque innocent des accusations portées contre lui. Bientôt après, l’empereur Anastase I«, que Symmaque avait exclu de sa communion, comme opposé aux décisions du concile de Chalcèdoine, accusa Symmaque de manichéisme devant un autre concile ; mais, encore une fois, le pontife montra qu’il n’était point coupable de pactiser avec cette hérésie, et cela d’autant plus facilement qu’il avait persécuté et chassé de Rome les manichéens dès son avènement au pontificat. Symmaque éleva plusieurs églises et lutta pondant le reste de son pontificat contre les hérésies de Nestorius et d’Eutycbès. On lui attribue l’introduction dans la messe du Gloria in excelsis, ainsi que douze Lettres adressées à divers évêques et au patrice Libère.
SYMMAQUE, le quatrième des interprètes de l’Ancien Testament en langue grecque. 11 était de Samaiïe et vivait encore sous l’empereur Sévère. Il appartenait à la secte des ébionites et pubiu mie nouvelle version de l’An SYMM
cien Testament, différente de celle des Samaritains (ira édition, vers 177 ; la 2e édition, suivant dom Bernard de Montfaucon, n’est-que la première avec quelques corrections). La version de Symmaque, que Théodore d’Héraclée déclare être remplie de contre-sens, est reconnue excellente par saint Jérôme, Eusèbe de Césarée et la plupart des anciens. Il ne nous en reste que quelques fragments.
SYMMAQOB (Quintus Aurelius Stmmachus, en français), orateur et homme d’État romain et le dernier défenseur du paganisme en Occident, né à Rome vers 340, mort vers 41». Il appartenait à une famille très-considérée, qui avait fourni à Rome plusieurs consuls et préfets. Son père, Aviauos Symmachus, avait été lui-même consul et préfet de Rome (364), et, en récompense de ses éminents services, on lui avait érigé une statue à Rome et à Constantinople. Le jeune Symmaque reçut une instruction brillante et s’attacha surtout k l’étude de l’éloquence. Ses talents et son éducation lui ouvrirent de bonne heure la carrière des fonctions publiques. Il fut successivement questeur, préteur, pontife, intendant de la Lucanie et du Brutium (365). Quelque temps après, il suivit Valentinien Ier dans sa campagne sur les bords du Rhin, entra alors en relation avec Ausone, prononça le panégyrique de Valen tinien et reçut le titre de comte (368). Après avoir été proconsul d’Afrique (373-374), Symmaque revint à Rome et siégea au sénat. Il se mit alors avec son ami, le sénateur Prœtextatus, à la tête du parti qui s’efforçait d’arrêter la chute du paganisme et qui comptait à Rome les familles les plus illustres. Lorsque, en 382, l’empereur Gratien confisqua au profit du fisc les biens des temples, enleva aux prêtres et aux vestales leurs immunités et ordonna d’abattre l’autel et la statue de la Victoire, qui avaient été rétablis par Julien dans la curie Hostifia, où se réunissait le sénat, Symmaque fut envoyé à Milan par la plus grande partie du sénat, avec une députation, pour demander à l’empereur le rétablissement de la statue, et de l’autel ; mais la députation ne fut point reçue. En 384, Symmaque futnommé préfet deRome par Valentinien II, en même temps que Praatextatus était préteur d’Italie, et l’un et l’autre firent de suprêmes efforts pour maintenir, au milieu du christianisme de plus en plus envahissant et intolérant, les antiques traditions religieuses du monde romain. Pendant qu’il exerçait ses fonctions, qui durèrent jusqu’en 386, le préfet de Rome renouvela sa tentative auprès de l’empereur, pour obtenir le rétablissement de l’autel de la Victoire. Nous possédons le rapport qu’il adressa à ce sujet à Valentinien II. Cette remarquable requête en faveur du passé est pleine de considérations de l’ordre le plus élevé. Il y demande la liberté générale des opinions et des pratiques religieuses, et revendique pour l’ancien culte des droits égaux à ceux dont le nouveau jouit, en invoquant le droit de croire aux dieux de Son pays, en rappelant, avec une grande éloquence, à quelle grandeur Rome s’était élevée sous la protection de ces dieux qu’on proscrivait à cette heure. Ce fut saint Ambroise, évêque de Milan, qui se chargea de répondre à l’orateur païen. Au droit imprescriptible de la liberté de conscience, k cette juste revendication de la tolérance, l’évêque catholique répondit par l’apologie de l’intolérance eu faveur de ses doctrines, menaça de fermer les églises à l’empereur s’il cédait, et le faible Valentinien II plia la tête d&vaut le nouveau culte qui parlait en maître tout-puissant. Symmaque revint alors à Rome, ou les chrétiens le poursuivirent de leurs calomnies. Quelque temps après, il eut la douleur de perdre son ami Prœtextatus et le découragement commença k s’emparer de lui. En 387, il se prononça en faveur de Maxime, qui venait de se faire proclamer empereur et d’entrer en Italie. Après la défaite de Maxime, Théodose devint maître de l’empire d’Occident. Symmaque prononça l’éloge du vainqueur, et fit auprès de lui une nouvelle démarche en faveur de l’autel de la Victoire ; Théodose lui répondit par un ordre d’exil (389). Toutefois, deux ans plus tard, il rentra en grâce et fut nommé consul avec Fabianus (391). Après sa sortie de charge, il ne joua pius qu’un rôle assez effacé, se bornant à prononcer des discours au sénat, ou prenant en main la cause des villes et des provinces qui le priaient d’intervenir en leur nom auprès des magistrats. Un instant, pendant le règne éphémère d’Eugène, Symmaque put espérer que le parti païen allait prendre le dessus ; mais une nouvelle victoire de Théodose vint bientôt lui enlever cette espérance. On a de lui des Rapports concernant son administration de Rome et adressésaux empereurs, et 965 Lettres à divers personnages. Ces documents sont extrêmement précieux pour l’histoire de l’organisation municipale de la cité et des usages concernant la législation et l’administration de l’époque. Le cardinal Maï a découvert, en 1815, quelques fragments de ses Discours dans la bibliothèque Auibiosienne. Les lettres de Symmaque ont été publiées pour la première fois sous le titre de lipistols familiares (Venise, in-4<>, sans date ;), et, on les a très-souvent réimprimées depuis. Les fragments trouvés par Maï ont paru
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sous le titre de Orationum ineditarwn partes (Milan, 1815, in-8°).
SYMMAQUE (Quintus Aurelius Memmius Symmachos), patrice romain, mort en 525. C’était un homme d’un caractère austère, qui fut nommé consul en 485, Beau-père de Boëce, il fit éclater son indignation quand ce philosophe eut été mis à mort (526), fut arraché de Rome, traîné à Ravenne et égorgé dans sa prison, par ordre de Théodoric, roi des Ostrogoths.
SYMMATHÈTE s. m. (simm-ma-tè-tedu grec summalhêtés, compagnon). Entom. Genre d’iDsectes coléoptères tètramferes, de la famille des charançons, tribu des brachydérides, dont l’espèce type vit au Brésil.
SYMMÈLE s. m. (simm-mè-le — du préf. sym, et du gr. melos, membre). Entom. Genre d’insectes coléoptères pentamères, de la tribu des scarabées phyllophages, comprenant une dizaine d’espèces, qui habitent le Brésil.
SYMMÉRISTE s. m. (simm-mé-ri-ste —du gr. summeristês, compagnon). Entom. Genre d’insectes lépidoptères nocturnes, de la tribu des noctuides.
SYMMÉTRANTKE adj. (simm-mé-tran-te — du gr. summetria, symétrie ; anthos, fleur). Bot. Se dit des fleurs dont les périgones sont partageables en deux moitiés symétriques.
SYMMÉTRIA s. m. (simm-mé-tri-a — du gr. summetria, symétrie). Bot. Genre d’arbres, rapporté avec doute à la famille des lythrariées, et dont l’espèce type croit k Java.
SYMMÊTROCARPE adj. (simm-mé-tro-karpe — du gr. summetria, symétrie ; karpos, fruit). Bot. Se dit des fruits dont le péricarpe se laisse partager en deux moitiés latérales symétriques.
SYMMOQUE s. f. (simm-mo-ke — du préf. sym, et du gr. mâkos, moqueur). Entom. Genre d’insectes lépidoptères nocturnes, de la tribu des tinéides.
SYMMORIE s. f. (simm-mo-rl — du gr. summeria ; dejun, avec, et de meirâ, je partage). Antiq. gr. Compagnie de soixante citoyens riches d’Athènes, qui devaient subvenir aux besoins extraordinaires de l’État.
— Encycl. Dans les premiers temps, l’armée d’Athènes n’était composée que de citoyens, qui s’équipaient eux-mêmes et dont les services n’étaient pas payés ; mais, lorsque des soldats mercenaires remplacèrent les citoyens, et que les guerres devinrent en même temps plus fréquentes et plus coûteuses, l’État fut obligé de lever des contributions pour solder ces mercenaires. On établit, dans ce but, un impôt sur la propriété. Il semble résulter d’un passage de Thucydide que cet impôt fut prélevé pour la première fois en 428 avant notre ère, quand il fallut payer les dépenses du siège de Mytilène ; cependant plusieurs érudits ont cru découvrir à une époque antérieure des traces de contributions du même genre. Quoi qu’il en soit, c’est à partir de 428 que la mention en devient fréquente. Jusqu’à l’année 377 avant notre ère, la quotité de cet impôt, proportionnel à la fortune territoriale, fut fixée d’après le recensement de Solon. En 377, un nouveau recensement fut fait, dans le dessein de fixer k nouveau, et d’une manière plus équitable, la contribution de chaque propriétaire. En suite de cette opération, il y eut un ensemble de douze cents citoyens, plus par. ticulièreraent désignés pour payer l’impôt de la propriété. On les divisa en vingt groupes égaux en nombre, et composés par conséquent de soixante personnes, deux groupes par tribu ; chacun de ces groupes eut le nom de symmorie.
La symmorie était taxée à une certaine somme, qu’elle ne pouvait se dispenser de payer. Si quelques-uns de ceux qui en faisaient partie ne se trouvaient pas en mesure de satisfaire aux exigences de la loi, les plus riches devaient avancer pour eux la somme nécessaire. Ceux-ci avaient ensuite le droit de se faire rembourser par tous les moyens en usage. A en croire Ulpien, les douze cents membres des symmories payaient seuls toute la taxe sur la propriété. Or, du temps de Démosthène, la propriété était évaluée k environ 6,000 talents, c’est-à-dire à plus de 33 millions de francs. Il est tout à fait improbable que la fortune territoriale de douze cents personnes pût, à cette époque, égaler une pareille somme. On doit donc admettre qu’il y avait des propriétaires en dehors des symmories, quoiqu’ils ne fussent pas assez riches pour y prendre place, et qu’ils contribuaient k 1 impôt en proportion de ce qu’ils possédaient.
Les vingt symmories étaient rangées au point de vue de la fortune en quatre classes, chacune de trois cents membres. Bœckh a calculé approximativement le taux auquel s’élevait le taxe pour chaque classe, en divisant chacune d’elles en cinq catégories ; nous reproduisons ici ses calculs, qui sont basés sur des travaux d’une rare érudition, et qui offrent les caractères de la plus grande probabilité.
Première classe. Ciluyeus «vaut U tj.-
