GEOD
m, n, p, ..., désignant des coefficients dont les valeurs respectives sont
4 04
175«
256
3.. >5 », 525.
4 16 512 16., 105,
^64 256
En appliquant cette formule à deux arcs différents, on aura deux équations entre a et e. C’est par cette méthode que Bessel, s’emparant à la fois de dix mesures d’arcs et les faisant concourir, par la méthode des moindres carrés, a la détermination des inconnues, a cru pouvoir proposer, à la place des résultats obtenus par la commission française, les suivants, qu’on regarde effectivement comme plus exacts :
e1 = 0,0066744, d’où
1
et
299,1528
a = 3272077,14.
Ayant a et e, pour calculer la longueur du quart du méridien, on se sert de la formule donnée plus haut pour représenter un arc quelconque S du méridien. Il suffit d’y faire / = 0 et /’ = 90".
Elle devient alors
Q = û(l —é)-m
C’est par cette formule que la commission . française a trouvé
Q = 5130740 toises, et par suite
l’i = 0T,5130740.
Bessel a trouvé depuis
Q = 5131179 toises. Mais Bessel lui-même convient que Ce der C+EOD
nier résultat comporte une incertitude de ± 256 mètres.
Les petites différences qu’on obtient, comme on voit, en suivant différentes méthodes, n’empêchent pas qu’on ne puisse continuer de regarder la figure de la terre comme étant dans son ensemble celle d’un ellipsoïde de révolution.
Ces différences tiennent probablement à des anomalies locales qui peuvent être attribuées aux, attractions exercées sur le fil à plomb, soit par des montagnes voisines, soit par des couches intérieures plus denses dans certaines directions que dans toutes les autres, par rapport à l’observateur.
La terre n’étant pas exactement sphérique, il en résulte que les opérations géodésiques effectuées suivant la méthode exposée plus haut ne fournissent que des résultats approchés. Ceux qu’on obtient sont ceux qui conviendraient au cas où la surface de la terre se confondrait avec la sphère tangente à l’ellipsoïde terrestre, le long du parallèle sur lequel se trouvait le milieu de la base de la triangulation, et qui aurait pour centre le point de rencontre avec la ligne des pôles d’une verticale menée en l’un des points de ce parallèle. En effet, en se servant pour le calcul de tous les triangles du réseau de leurs angles réduits à l’horizon, on évite les inégalités d’altitude, c’est-à-dire qu’on opère comme si tous les points de la surface étaient à la même distance du centre que le point de départ. Cependant, il faut remarquer, d’un autre côté, que lorsque le réseau a une grande étendue, les normales k l’ellipsoïde terrestre et à la sphère tangente le long du parallèle du point de départ s’écartent de plus en plus l’une de l’autre à mesure qu’on s’éloigne de ce point de départ. La direction adoptée pour la verticale étant donc toujours donnée expérimentalement et appartenant, par conséquent, à l’ellipsoïde, les résultats ne se rapportent, en réalité, ni à la sphère ni à l’ellipsoïde : ils sont intermédiaires. Pour les corriger, il faut, avant tout, connaître la différence des latitudes de chaque sommet de la triangulation, comptées surin sphère et surl’ellipsoïde. Nous niions montrer comment onobtient cette différence.
Soient PIE le quart du méridien terrestre, À un point du parallàle sur lequel se trouvait le milieu de la base mesurée directement, IN la normale en ce point, et, par conséquent, N le centre de la sphère sur laquelle on est censé avoir marché, P’IE’ le quart du méridien de cette sphère, À la station située sur le parallèle du milieu de la base : supposons ou on ait déterminé par le calcul la distance ne la station A à une autre B, dont la longitude soit celle des deux méridiens PIE ou P’IE’, cette station sera en Bou en B’, selon qu’on la placera sur la sphère ou sur l’ellipsoïde. Seulement, les arcs AB, AB’ seront égaux. En B, la normale est BN, mais en B’ elle est B’N’. Les latitudes des points B et B’ ne sont donc pas les mêmes ; il s’agit d’en connaître la différence. On les compare pour cela toutes deux à celle du point A. Soient (la latitude de A, celle de B, et /’ celle deB
Pour avoir l, on peut le développer en série par la formule de Maclaurier, en le considérant comme un fonction du rapport u de l’arc AB au rayon IN. On aura ainsi
<■-’+(£)■ + ©£
+....
Mais le triangle P’AB, dans lequel les côtés P’B, P’A sont les compléments des latitudes, donne
sin li = s
l cos u + cos l sin u cosA ;
d’où, en dérivant par rapport à m,
, dl, ...
cos J, -j— =— sin /sin u + cos / cosu cos A
cos, , Sln, ,()
=— sin l coa u — coa l sin u cos A, et en faisant u = 0 ; d’où l, = l,
dl
—7- = cosA
du
d’t
-j-j = tang t cos * A tang i =— tang l. sin ’A.
VIII.
En se bornant aux deux premiers terme3, il vient
l, — l=.u cos A— -u’ sin1 A tang/ ; c’est-à-dire, en remplaçant u par sa valeur, /, —/-cosA^, . tang /sin *A Nsinl" 2 =>""’* "N’sin 1"’ N désignant la normale IN dont la valeur est
N= 2
(1 — e» sin " l)-
et K la distance AB estimée en mètres.
Cherchons maintenant/’ — /.Les arcs IB et IB’ sont exprimés respectivement par
IB = N {/, — /) et
IB’ = p/’-/),
p désignant le rayon de courbure de l’ellipsoïde en I, rayon qui est exprimé par
a (l-é)
(1 — P sin ' l) 2
Mais les distances IB et IB’ peuvent être considérées comme égales ; on a donc
fit l) ? = ri’-n °A- «’)
!=(/-’)•
(1—Ê’sin’Z) 2
d’où
3’
(l — ésin5/) 2
V-/=(/, -/) (1-ésin1./)-1 —fi"
= (/t— /) (l-e1 siu ! /) (1 + é + é +),
ou, en négligeant les termes qui renferrnentles puissances de e supérieures à la seconde,
/’—/ = (/, — /) (î + e1 cos’ i).
Telles sont les formules qu’on a employées pour la construction de la carte de France.
Nous renvoyons à l’article mivellement pour ce qui concerne l’estimation des diffé GEOD
renées d’altitude des divers sommets d’un réseau géodésique.
— Histoire de la géodésie. L’histoire de la géodésie se réduira à peu de mots, cette branche de la science n ayant pris de développements importants que depuis deux siècles au plus.
« Des deux questions de la grandeur et de la figure de la terre, les anciens, dit Delambre, ne se sont guère occupés que de la première. La seconde leur avait semblé résolue aussitôt que posée. Dès l’instant où l’on se fut assuré de la courbure de la terre et de la convexité des mers, on se hâta de conclure que la terre était sphérique. On n’avait garde alors d’élever le moindre doute sur une hypothèse qui réunissait une grande simplicité on théorie et une exactitude suffisante pour la pratique. Dans cette hypothèse, il suffisait de mesurer un arc défini d’un méridien quelconque pour en conclure la grandeur du rayon de la terre. C’est Eratosthene qui paraît avoir le premier montré comment devait se faire l’opération. Sans sortir de son observatoire, il donna la première idée de la marche à suivre pour déterminer la grandeur de la terre. Il savait qu’à Syène, le jour du solstice, les puits étaient éclairés jusqu’au fond, c’est-à-dire que le soleil passait au zénith ; il en conclut que Syène était sous le tropique. La hauteur solsticiale, qu’il put observer lui-même à Alexandrie, lui donnait la différence de latitude ou le nombre de degrés du méridien interceptés entre les parullèles de ces deux villes. La route qui conduisait de l’une à l’autre était d’environ 5,000 stades ; elle se dirigeait à peu près dans le sens du méridien : il en supposa la déclinaison tout à fait nulle. La différence en latitude lui parut la cinquantième partie d’un grand cercle. La circonférence de la terre devait, par conséquent, être de 250,000 stades. Il la porta a 252,000 pour avoir un degré de 700 stades en nombre rond. Ces résultats ne sont pas, comme on voit, d’une précision bien rigoureuse, mais ils suffisaient à la géographie du temps. Quant à la division des degrés en 700 stades, elle pourrait aujourd’hui nous donner la mesure du stade, si on supposait exacts les calculs et les observations a’Eratosthène ; mais elle ne peut pas servir à apprécier, même grossièrement, le degré d’approximation des résultats obtenus par ce géomètre, la longueur vraie du stade nous étant à peu près inconnue, ou ne l’étant que dans des limites telles que la vérification n’apprendrait rien.
Ce que les Arabes ont fait pour la mesure de la terre est encore bien moins précis. D’après leurs auteurs, Al-Mamoun aurait fait assembler les astronomes dans la plaine de Sinjar. Après y avoir pris la hauteur du pôle, ils se séparèrent en deux troupes et marchèrent, les uns vers le midi, les autres vers le nord, mesurant le mieux qu’ils purent les chemins qu’ils faisaient, et observant de temps en temps la hauteur du pôle, jusqu’à ce qu’ils eussent trouvé des deux côtés une différence d’un degré. De cette mesure de deux degrés, il résulta un évaluation qui parait encore moins précise que celle des anciens.
Comme les Arabes, Pernel s’est acheminé vers le Nord, sur la route de Paris à Amiens, jusqu’à ce qu’il eut trouvé la hauteur du pôle augmentée d’un degré, et, comme Eratosthene, il supposaque sa route était toute dans un même méridien ; ce qui était du moins à très-peu près vrai. On sait, du reste, combien était primitif le moyen qu’il employa pour mesurer le chemin fait. Il eut toutefois le bonheur de rencontrer à peu près juste.
Snellius employa la véritable méthode. Il mesura une base sur laquelle il forma des triangles ; il en déduisit la distance dans le sens du méridien, et il observa la hauteur du pôle aux deux extrémités, comme l’ont fait les derniers observateurs ; il n’y a de différence que dans les moyens mécaniques, les méthodes de calcul et les soins apportés à l’opération.
Riccioli avait imaginé, pour mesurer le rayon de la terre, diverses méthodes applicables seulement à de très-petits arcs. Les résultats divergents auxquels il arrivait montrèrent l’imperfection de ces méthodes.
Norwood, en Angleterre, mélangea les deux procédés de Fernël et de Snellius ; quoiqu’il eût pris la précaution d’évaluer, au moyen d’un graphomètre, les détours de la route qu’il mesurait d’ailleurs à la manière des arpenteurs, il se trompa de 400 toises sur la longueur du degré.
Picard, qui, en société avec Auzout, avait imaginé de substituer aux anciennes pinnules des graphomètres des lunettes et des micromètres, reprit la mesure de l’arc déjà étudié par Fernel en y appliquant la méthode de Snellius, mais avec des instruments beaucoup plus parfaits, et en y apportant des soins inconnus jusque-là. Il trouva pour la longueur du degré du méridien, k la latitude d’Amiens, 57,063 toises, c’est-à-dire 15 toises de moins que ce qu’ont donné les mesures plus récentes. Mais la longueur de sa toise était un peu moins grande que celle de la toise de Borda, qui a servi dans les mesures plus récontes ; il aurait du trouver un nombre sensiblement plus fort que celui auquel il est arrivé. Il s’était trompé de quelques secondes dans l’évaluation do l’arc céleste, c’est-à-dire
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de îa différence des latitudes. Cette opération de Picard a été reprise et vérifiée plusieurs fois, de 1740 à 1756, par Maupertuis, Cîairaut, Camus et Lemonnier ; elle fut ensuite prolongée, de 1683 à 1718, par Cassini et Lanire, jusqu’à Dunlterque et à Collioure. Les détails de ces opérations ont été consignés dans les Mémoires de l’Académie pour 1708. Pour la vérification, on mesura aeux nouvelles bases près de Dunkerque et de Perpignan. Les erreurs se trouvèrent assez faibles, et on regarda dès lors la question principale comme résolue. On supposa la rayon de la terre connu.
Mais, vers cette époque, Huyghens et Newton, guidés par la théorie, avancèrent que la terre devait être aplatie aux pôles, et la diminution du pendule k secondes, observée par Richer près de l’équateur, venait confirmer cette hypothèse théorique. Cependant les mesures prises par Cassini et Lahire indiquaient tout le contraire : la longueur du degré avait paru moindre au nord qu’au sud. Après d’assez longues discussions, on reconnut la nécessité de recourir de nouveau à l’expérience. Cassini de Thury et Lacaille reprirent donc, en 1739, la mesure de la méridienne de France. Leur travail, qui parut en 1744 dans les Mémoires de l’Académie, sous le titre de Méridienne vérifiée, constata irrécusablement l’aplatissement de la terre ; il restait à connaître la quantité de cet aplatissement. Cette inconnue ne pouvait résulter que de nouvelles recherches plus difficiles encore et plus délicates que toutes celles qu’on avait déjà faites.
Depuis lors, plusieurs degrés ont été mesurés en différents pays : Lacaille au cap do Bonne-Espérance, Bosoowioh dans les États du pape, Beccaria en Piémont, Liesganig en Autriche et en Hongrie, suivirent avec plui ou moins de succès les exemples donnés en France ; enfin Masson et Dixon mesurèrent un degré en Pensylvanie. Mais, loin de fixer l’incertitude qui restait sur la quantité de l’aplatissement, la comparaison de tous ces degrés était plus propre à faire douter de la similitude des méridiens ou de la régularité do leur courbure.
C’est pourquoi l’Assemblée nationale, qui voulait réformer complètement notre système de poids et mesures, accepta d’enthousiasme la proposition faite, en 1790, parTalleyrand, de faire entreprendre, avec des moyens encore plus parfaits, de nouvelles opérations géodésiques.
Le 8 mai 1790, cette assemblée rendit un décret par lequel de roi était supplié d’écrire a Sa Majesté Britannique, et de la prier d’engager le Parlement d’Angleterre à concourir avec l’Assemblée nationale à la fixation de l’unité naturelle des mesures et des poids, afin que, sous les auspices des deux nations, des commissaires de 1 Académie des sciences pussent se réunir en nombre égal avec des membres choisis pus la Société royale de Londres, dans le lieu qui serait jugé le plus convenable, pour déterminer, à la latitude de 45 degrés, ou toute autre latitude qui pourrait être préférée, la longueur du pendule, et en déduire un modèle invariable pour toutes les mesures et tous les poids. •
Ce décret fut sanctionné le 2 août, et l’Académie s’empressa de nommer une commission composée de Borda, Lagrange, Laplace, Monge ce Condorcet, dont le rapport, imprimé, parut en mars 1791. La commission conclut, comme on sait, pour l’adoption de la dix-millionième partie du quart dit méridien comme unité fondumentale. Elle proposait, en outre, à l’Académie de nommer six commissions différentes p^ur les six opérations distinctes dont le projet était composé. L’Assemblée nationale adopta le plan do l’Académie par un décret en dato du 26 mars 1791 ; la sanction royale suivit immédiatement après, et les commissaires furent délégués par 1 Académie des sciences. Ce furent, comme on sait, Delambre et Méchain, qui furent chargés de la nouvelle mesura de la méridienne de France. Biot et Arago furent plus tard chargés de prolonger la méridienne jusqu’à Forméritera.
— Bibliogr. Parmi les nombreux ouvrages relatifs à la géodésie, nous citerons d’abord ceux qui se rapportent aux grandes opérations entreprises par ordre du gouvernement pour arriver à lu détermination du mètre. Ce sont :
Base du système décimal, ou Mesure de l’arc du méridien compris entre les parallèles de Dunkerque et de Bordeaux, exécutée en 1792 et années suivantes par MM. Méchain et De* lambre, rédigée par M. Delambre, secrétaire perpétuel de l’Institut pour les sciences mathématiques (Paris, 1806, 3 vol. in-4t>).
Recueil d’observations géodésiques, astronomiques et pàysiquts, exècutéus par ordre du Bureau des longitudes de France, en Espagne, en France, en Angleterre et en Écosse, pour déterminer la variation de la pesanteur et des degrés terrestres, sur le prolongement du méridien de Paris, faisant suite au troisième volume de la Base du système métrique, par Biot et Arago.
Rapport.fa.it au Bureau des longitudes svr la détermination de la longueur de l’arc du méridien compris entre les parallèles de Dun.kerque et de Formenfera, par Daussy et Largeteau, membres de l’Institut.
Nouvelles comparaisons des mesures géode-
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