Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de parce que est inférieure à . Si nous faisons tendre vers zéro, en intercalant entre les de nouveaux nombres, alors croît, décroît, tend vers zéro ; donc et ont une même limite.
Soient les sommes obtenues par ce procédé ; soient les sommes obtenues en faisant tendre vers zéro d’une autre manière[1] ; soient les sommes obtenues en réunissant les nombres donnant et ; soient celles obtenues en réunissant les donnant ; ; ; et ainsi de suite. On a évidemment
la seconde de ces inégalités montre que et ont la même limite que et , car nous savons que et ont une limite et que tend vers zéro. La première montre que cette limite est aussi celle de et .
La valeur de l’intégrale est donc indépendante de la manière dont le maximum de tend vers zéro.
Nous complétons cette définition en posant
.
Il reste à voir si l’intégrale satisfait bien aux conditions du problème d’intégration[2] ; il nous suffit évidemment d’examiner les conditions 3 et 6.
Lorsque l’on additionne deux fonctions ne prenant chacune qu’un nombre fini de valeurs différentes, comme les fonctions et de la page 101, la condition 3 est évidemment vérifiée. Soient maintenant et deux fonctions mesurables bornées ; nous savons que et diffèrent de moins de de deux fonctions
- ↑ Les qui donnent et ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné et , tandis que les donnant et contiennent les relatifs et .
- ↑ Pour le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il faut ajouter qu’on s’astreint à la considération des seules fonctions mesurables.