et de la nature de celles dont il vient d’être parlé, donc diffère de moins de de ; diffère de moins de de , c’est-à-dire de moins de de . La condition 3 est donc bien remplie.
La condition 6 est aussi remplie, car on a la propriété suivante :
En effet, nous savons que est intégrable ; évaluons
.
Si l’on a toujours et si est inférieure à dans , , étant inférieure à la fonction égale à dans et à dans , a une intégrale au plus égale en module à
.
Mais est quelconque, et tend vers zéro avec parce qu’il n’y a aucun point commun à tous les , donc
tend vers zéro. La propriété est démontrée[1].
Une autre forme de ce théorème est la suivante :
Si tous les restes d’une série de fonctions mesurables sont en module inférieurs à un nombre fixe , la série est intégrable terme à terme.
Les définitions et les résultats précédents peuvent être étendus
- ↑ M. Osgood, dans un Mémoire de l’American Journal, 1897, On the non-uniform convergence, a démontré le cas particulier de ce théorème dans lequel et les sont continues. La méthode de M. Osgood est tout à fait différente de celle du texte.