cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un nombre déterminé.
Soit une fonction bornée
définie dans un intervalle fini
. Divisons
en intervalles partiels
et choisissons arbitrairement, quel que soit
, un point
dans
ou confondu avec l’une des extrémités de
. Considérons la somme
![{\displaystyle \mathrm {S} =\delta _{1}f(x_{1})+\delta _{2}f(x_{2})+\ldots +\delta _{n}f(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fc87a33b840585e362b39660afd6a10174e126)
.
Augmentons constamment le nombre des intervalles
et choisissons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende vers zéro[1]. Alors, si
tend vers une limite déterminée, indépendante des intervalles et des points
choisis, Riemann dit que la fonction
est intégrable et a pour intégrale, dans
, la limite de
.
Lorsque
sont choisis, le nombre
n’est pas entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d’indétermination sont :
![{\displaystyle {\underline {\mathrm {S} }}=\sum l_{i}\delta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fcccd964387164ae319d53ad41e1f319386196)
,
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}=\sum \mathrm {L} _{i}\delta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8280f21381d5c8c4c85cdad80cfc21ef9303804)
,
où
et
représentent les limites inférieure et supérieure de
dans
. Posons
, alors
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} \leqq {\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}\omega _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845a6fde5cde101803cde01f8db046fe68af4bac)
.
Pour que
tende vers une limite déterminée, il faut d’abord que
tende vers zéro ; mais
, tend vers
, où
est l’oscillation moyenne de
; donc, pour que
soit intégrable, il faut qu’elle soit à oscillation moyenne nulle.
Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que
a une limite bien déterminée, puisque
tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l’on raisonne non sur la fonction
, mais sur
,
étant une constante telle que
ne soit jamais négative.
Soient les divisions
;
, telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, ce maximum
- ↑ Il est bien entendu que, pour passer d’une division à la suivante, on n’est pas obligé de se servir des points de division déjà employés.