est
pour
. Soient
;
, les nombres analogues à
et correspondant à ces divisions.
Comparons
et
. Partageons les intervalles de
en deux espèces, comme il a été dit dans l’étude de l’oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles
fournissent, dans
, une contribution au plus égale à
, où
est le maximum de
dans
. Les intervalles
figurent tous dans
, à laquelle correspond
; donc, la contribution des intervalles
dans
est au plus égale à
. Mais
s’obtient en morcelant les intervalles de
; il est évident, dans ces conditions, que
est au plus égale à
. De tout cela on tire
![{\displaystyle {\overline {\Sigma _{j}}}\leqq {\overline {\mathrm {S} _{i}}}+n\mathrm {L} \lambda _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be4d0bf18f985031854a02131335421ac39c42a)
.
De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que
et
ont la même limite et même qu’ils tendent uniformément vers cette limite.
La propriété est démontrée pour
, donc elle est vraie pour
, car, en passant de
à
, on augmente toutes les sommes
de
.
Il est important, pour la suite, de remarquer que nous avons démontré l’existence d’une limite pour
sans faire aucune hypothèse sur la fonction bornée
. La condition que
est à oscillation moyenne nulle est intervenue seulement lorsque, de l’existence d’une limite pour
, nous avons déduit l’existence d’une limite pour
.
On peut transformer la condition d’intégrabilité obtenue : il faut et il suffit que la somme
tende vers zéro. Cela revient à dire que les intervalles
, dans lesquels
est supérieure à un nombre positif
arbitrairement choisi, ont pour
assez grand une longueur totale
aussi petite que l’on veut, car on a :
![{\displaystyle \lambda \varepsilon \leqq \textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}\leqq (b-a-\lambda )\,\varepsilon +\lambda \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee020e17d682c617ef8a12f9807fa9a8dcb6384)
,
étant l’oscillation de
dans
. On a ainsi l’énoncé donné par Riemann :
Pour qu’une fonction bornée soit intégrable dans
, il faut et il suffit qu’on puisse diviser
en intervalles