La fonction
a, dans chaque intervalle
, une infinité de maxima et de minima ; en effet, si
, elle est à variation non bornée dans
et si
,
a une dérivée bornée dans
, tandis que la dérivée de
prend toutes les valeurs positives et négatives. Soit
l’ensemble des valeurs de
pour lesquelles
est maximum ou minimum.
En opérant, à partir de
, comme à partir de
, on formera
, d’où
et
[1].
En continuant ainsi, on définit les différents termes de la série
![{\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}(x)+{\frac {1}{3^{2}}}f_{3}(x)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e815994dd15039dc1ef55ef4c0b1a82adf198981)
,
qui est uniformément convergente, car
est inférieure à 1.
La fonction continue
a des maxima et des minima dans tout intervalle. Dans un intervalle quelconque
, en effet, pourvu que
soit assez grand, il y a plus de deux points de
. Supposons qu’il y ait les trois points consécutifs
,
,
de
,
étant égale à
pour ces trois points,
aura un maximum ou un minimum, au moins, entre
et
, suivant que
correspond à un maximum ou à un minimum.
De là résulte aussi que la variation totale de
est au moins égale à celle de
, donc
est à variation non bornée dans tout intervalle si
. Au contraire si
, la variation totale de
étant finie et inférieure à
,
est à variation bornée dans tout intervalle (voir p. 51).
Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée.
Voici une propriété des points singuliers, qu’il était facile d’ailleurs de mettre directement en évidence, et qui résulte immédiatement de la construction de la fonction à variation bornée la
- ↑ Pour être tout à fait rigoureux, il faudrait démontrer que la somme des longueurs des intervalles contigus à
, intervalles qui jouent le rôle des
, est égale à 2 comme la somme des différences
. Cela est presque évident et résulte, si l’on veut, de ce que
est d’étendue extérieure nulle.