plus générale à partir de deux fonctions croissantes : tous les points de discontinuité d’une fonction à variation bornée sont de première espèce.
Soit un point de discontinuité ; la quantité
est le saut de la fonction à gauche de ;
est le saut à droite de , enfin
est le saut au point .
Ceci posé, considérons la fonction des sauts de
où chacune des séries contient tous les qui satisfont à l’inégalité placée au-dessous du signe correspondant. On verra aisément que ces deux séries sont absolument convergentes et que, si l’on pose
est une fonction continue à variation bornée ; la variation totale de étant la somme de celles de et de .
La fonction discontinue la plus générale qui soit à variation bornée s’obtient donc, soit en faisant la différence de deux fonctions discontinues croissantes, soit en ajoutant à une fonction continue à variation bornée la fonction des sauts . Cette seconde méthode montre qu’on peut construire des fonctions à variation bornée en choisissant à volonté l’ensemble dénombrable des points de discontinuité, et même les sauts de droite et de gauche et , pourvu que les séries , soient absolument convergentes.
Par exemple, l’ensemble des points de discontinuité pourra être l’ensemble des nombres rationnels, les sauts étant, quand s’écrit sous forme irréductible,