; et nous pouvons même assujettir
à être inférieur à une certaine quantité donnée à l’avance
.
La courbe étant définie dans
, du point
comme origine, nous pouvons tracer une corde remplissant les conditions indiquées ; elle correspond à
. De
nous pouvons tracer une nouvelle corde qui correspond à
et ainsi de suite. Si après un nombre fini d’opérations on arrive en
, la construction est ainsi achevée. Sinon les
ont un point limite
à partir duquel, comme origine, on peut tracer une corde
, puis de
on trace
et ainsi de suite. Si l’on n’atteint pas
, on se rapproche d’un point limite
, à partir duquel on opère de même qu’à partir de
.
On a ainsi des intervalles dont les origines
ont pour indices les différents nombres finis et transfinis
. Il faut démontrer qu’on arrivera en
avant d’avoir épuisé la suite des nombres transfinis, c’est-à-dire à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles
. Cela est tout à fait évident, car il n’y a pas plus de
intervalles de longueur supérieure à
, et tous les intervalles, étant supérieurs en longueur à l’un des nombres
, forment un ensemble fini ou dénombrable.
L’ensemble des valeurs
est réductible, puisqu’il est fermé et dénombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées pour évaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs de ces cordes diffère de la somme
![{\displaystyle \mathrm {I} =\sum (t_{\alpha +1}-t_{\alpha }){\sqrt {{x'}^{2}(t_{\alpha })+{y'}^{2}(t_{\alpha })+{z'}^{2}(t_{\alpha })}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfe2944c6e91c428f6d7ae1ddccfea12edc3a28)
,
au plus de
![{\displaystyle \varepsilon \textstyle \sum (t_{\alpha +1}-t_{\alpha })=\varepsilon (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04bbc90da51b0cc9034e787ac75fbd64af591d3)
.
Si nous faisons tendre simultanément
et
vers zéro,
tend vers zéro, la somme des longueurs des cordes tend vers la longueur
de la courbe,
tend donc vers
. Mais, d’après la forme de
, on peut écrire, si
est bornée,
![{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}}\leqq s\leqq {\overline {\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6847899d9c30db5c38f78075a706bf4ce14bd3a)
.
Supposons maintenant que
, bornée ou non,