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soit la dérivée d’une fonction $\sigma (t)$ . Si nous avons choisi chaque intervalle ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ de manière qu’il satisfasse, non seulement aux conditions précédemment indiquées, mais encore, ce qui est possible, à l’inégalité

\varepsilon \,\delta t_{\alpha }\geqq \left\vert \delta \sigma (t_{\alpha })-\delta t_{\alpha }{\sqrt {{x'}^{2}(t_{\alpha })+{y'}^{2}(t_{\alpha })+{z'}^{2}(t_{\alpha })}}\right\vert

,

$\mathrm {I}$ tend vers l’accroissement ${\sigma (b)-\sigma (a)}$ de $\sigma (t)$ dans ${(a,b)}$ quand $\varepsilon$ et $\lambda$ tendent simultanément vers zéro. On a donc

s=\sigma (b)-\sigma (a)

.

La longueur de l’arc est l’accroissement de la fonction $\sigma$ .

J’appelle l’attention sur la construction employée dans la démonstration précédente.

Je suppose qu’un procédé, permettant de construire un ou plusieurs intervalles ayant pour origine un point quelconque $t_{0}$ , ait été indiqué. Je dirai qu’un intervalle ${(a,b)}$ a été couvert, à partir de $a$ , par une chaîne d’intervalles choisis parmi les intervalles définis par le procédé donné, lorsqu’on aura construit par ce procédé un intervalle ${(t_{1},t_{2})}$ d’origine ${t_{1}=a}$ , puis un intervalle ${(t_{2},t_{3})}$ d’origine $t_{2}$ , etc., puis, si cela est nécessaire, un intervalle ${(t_{\omega },t_{\omega +1})}$ dont l’origine est la limite de $t_{1},t_{2},\ldots$ , et ainsi de suite. Il a été démontré qu’on arrive ainsi nécessairement à atteindre $b$ au bout d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’opérations, de sorte que la chaîne construite couvrira bien tout ${(a,b)}$ ^[1].

↑ Lorsque le procédé donné fait correspondre plusieurs intervalles à une même origine $t_{\alpha }$ , il faut choisir entre tous ces intervalles celui qu’on appellera ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ . Ce choix peut être fait arbitrairement si la nécessité de choisir ne se présente qu’un nombre fini de fois. Si elle se présente un nombre infini de fois, pour éviter les difficultés qui surgissent de l’emploi des mots « choisir une infinité de fois », il vaut mieux supprimer le choix en indiquant suivant quelle loi on déterminera ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ parmi tous les intervalles possibles. Dans la démonstration précédente, on pourra assujettir chaque intervalle ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ à être le plus grand qui satisfasse aux conditions imposées ; il y a bien d’ailleurs, dans l’ensemble de ces intervalles, un intervalle plus grand que tous les autres.

[1] Lorsque le procédé donné fait correspondre plusieurs intervalles à une même origine $t_{\alpha }$ , il faut choisir entre tous ces intervalles celui qu’on appellera ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ . Ce choix peut être fait arbitrairement si la nécessité de choisir ne se présente qu’un nombre fini de fois. Si elle se présente un nombre infini de fois, pour éviter les difficultés qui surgissent de l’emploi des mots « choisir une infinité de fois », il vaut mieux supprimer le choix en indiquant suivant quelle loi on déterminera ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ parmi tous les intervalles possibles. Dans la démonstration précédente, on pourra assujettir chaque intervalle ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ à être le plus grand qui satisfasse aux conditions imposées ; il y a bien d’ailleurs, dans l’ensemble de ces intervalles, un intervalle plus grand que tous les autres.

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