qui a appelé l’attention sur l’intégrale indéfinie de la fonction
Cette intégrale indéfinie admet pour dérivée quand n’est pas de la forme .
Supposons et faisons tendre vers par valeurs croissantes, on a vu que tend vers donc, d’après le théorème de la moyenne, il en est aussi de même de .
Au contraire, ce rapport tendra vers si l’on fait tendre vers par valeurs décroissantes ; donc n’a pas de dérivée pour les valeurs de la forme .
C’est le premier exemple que l’on ait connu d’une fonction n’admettant pas, en général, une dérivée. On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, , qui, en certains points, n’avaient pas de dérivée ; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense ; dans l’exemple de Riemann, au contraire, il y a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d’exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les sont tous les nombres rationnels, est une ces fonctions.
L’intégration fournit des fonctions qui n’ont pas toujours une dérivée. Par une méthode toute différente, Weierstrass a construit une fonction n’ayant jamais de dérivée[2] ; il est évident que l’intégration ne peut pas donner de telles fonctions : Les points en lesquels une intégrale indéfinie n’admet pas de dérivée forment un ensemble de mesure nulle, puisque ces points appartiennent