CHAPITRE V.
LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.
I. — L’intégrale indéfinie.
Soit
une fonction bornée intégrable définie dans
; la fonction
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439884844109ac1847c0e84c8444cdf691e4633a)
est l’intégrale indéfinie de
.
En appliquant le théorème de la moyenne on voit que l’intégrale indéfinie de
est une fonction continue, à variation bornée[1], et qu’elle admet
pour dérivée en tous les points où
est continue.
Que se passe-t-il si
n’est pas continue en
? Alors il se peut qu’il y ait une dérivée égale à
, c’est le cas pour
si
est nulle pour
quelconque, et égale à 1 quand
est l’inverse d’un entier ; il se peut qu’il y ait une dérivée différente de
, c’est le cas pour
quand
est partout nulle sauf pour
; il se peut qu’il n’y ait pas de dérivée, c’est le cas pour
quand
pour
et
[2].
Ainsi l’intégration peut conduire à des fonctions n’ayant pas partout une dérivée. Cette conséquence a été signalée par Riemann
- ↑ Je laisse au lecteur le soin de démontrer que la variation totale de
dans
est exactement égale à
.
- ↑ L’intégrale indéfinie est alors
.